Интегралы1

3) Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Биноминальным дифференциалом называется выражение вида x^m(a + bxⁿ)^pdx, где a, b – дествительные числа; m, n, p – рациональные.
В 1853 году П. Л. Чебышевым (знаменитым русским математиком) была установлена теорема о том, что интеграл вида x^m(a + bxⁿ)^pdx берётся в конечном виде лишь в следующих трёх случаях: a) когда p – целое число,

б) когда – целое число,

с) когда – целое число.

Во всех остальных случаях этот интеграл в конечном виде не берётся. Доказательство теоремы сложное, использует сложный аналитический аппарат, поэтому его не приводим. Покажем только, как же вычислить интеграл в тех трёх случаях, когда он берётся в конечном виде.

а) p – целое число (положительное, отрицательное или 0).
О бозначим через λ – общий знаменаталь чисел m и n. Тогда подинтегральное выражение x^m(a + bxⁿ)^p = R(^λ√x) и потому рационализирующей подстановкой будет
Т огда x = t ^λ, dx = λt ^{λ –1}dt. _ x^m(a + bxⁿ)^pdx = _ t ^λm(a + bx^λn) λt ^{λ –1}dt.

Пример. – интеграл от
рациональной функции по t. (m = – 2, n = 1/3, p = – 2 – целое, λ = 3)
t = ³√x, x = t³, dx = 3t²dt, x ^-2 = t ^-6, 2 + x^1/3 = 2 + t. /закончить самостоятельно/.