In this chapter, the effect of an external static electric field is described within the BenDa niel-Duke model for the conduction band, introduced in the previous chapter. In Section 4

2. Resonant Tunneling
2. Резонансное туннелирование
2. Rezonansli tunnel qurish

The DBRTD's operation is based on two quantum phenomena: tunneling through a potential barrier, and resonance in a quantum well. Both are, in the lD case, easily treated in the transfer matrix approach. To use this approach, we suppose the electrons in the conduction band to be quasi-free particles of energy with m* the effective mass and the bottom of the conduction band (envelope function formalism [10]). Thus, a flux of incoming monoenergetic electrons can be described by a plane wave exp(ikz). In the following we take at the left spacer to be the zero of the energy scale (see Fig. · lb). Furthermore, we will use only one effective mass for the entire structure. The electronic potential is approximated by a piece-wise constant potential: this makes the model easier to handle, while it can be shown that no essential changes are introduced with regard to the resulting current-voltage features. [11].

Работа DBRTD основана на двух квантовых явлениях: туннелировании через потенциальный барьер и резонансе в квантовой яме. И то, и другое в случае 1D легко обрабатывается с помощью матричного подхода. Чтобы использовать этот подход, мы предполагаем, что электроны в зоне проводимости являются квазисвободными частицами с энергией с m* эффективной массой и дном зоны проводимости (формализм огибающей [10]). Таким образом, поток налетающих моноэнергетических электронов может быть описан плоской волной exp(ikz). В дальнейшем мы принимаем левую прокладку за нуль шкалы энергий (см. рис. · 1б). Кроме того, мы будем использовать только одну эффективную массу для всей конструкции. Электронный потенциал аппроксимируется кусочно-постоянным потенциалом: это упрощает работу с моделью, при этом можно показать, что в результирующие вольт-амперные характеристики существенных изменений не вносится. [11].
DBRTD ning ishlashi ikkita kvant hodisasiga asoslangan: potentsial to'siq orqali tunnel o'tkazish va kvant qudug'idagi rezonans. Ikkalasi ham, lD holatida, transfer matritsasi yondashuvida osonlik bilan ishlov beriladi. Ushbu yondashuvni qo'llash uchun biz o'tkazuvchanlik zonasidagi elektronlar m* samarali massa va o'tkazuvchanlik zonasining pastki qismiga ega bo'lgan energiyaning kvazi-erkin zarralari deb faraz qilamiz (konvert funktsiyasi formalizmi [10]). Shunday qilib, kiruvchi monoenergetik elektronlar oqimini tekis to'lqin exp(ikz) bilan tasvirlash mumkin. Quyida biz energiya shkalasining nol bo'lishi uchun chap bo'shliqni olamiz (qarang: lb-rasm). Bundan tashqari, biz butun tuzilish uchun faqat bitta samarali massadan foydalanamiz. Elektron potentsial bo'lak-bo'lak doimiy potentsial bilan yaqinlashadi: bu modelni boshqarishni osonlashtiradi, shu bilan birga joriy kuchlanish xususiyatlariga nisbatan hech qanday muhim o'zgarishlar kiritilmaganligini ko'rsatish mumkin. [11].
Attributing to the first barrier (width . height potential drop across the barrier ) a reflection coefficient now means that an incoming wave of energy will be partly reflected by the barrier, resulting in a wave , and partly transmitted, leading to a wave , The barrier is completely described by the three functions and of wave number k or energy E. Analogously, the second barrier can be characterized by quantities and . To the two barriers together, seen as one complex barrier structure, can also be attributed a reflection coefficient R which can be expressed in and of the separate barriers. However, we cannot simply multiply (1- ) and (1- ) to find (1-R): the well between the barriers serves as a resonator, in which transmitted and reflected waves may interfere destructively or constructively. Taking into account this interference yields a total (1-R) given by:
Приписывание первому барьеру (ширина . высота падения потенциала на барьере ) коэффициента отражения теперь означает, что падающая волна с энергией будет частично отражаться барьером, в результате чего образуется волна , а частично проходить, приводящая к волне , , Барьер полностью описывается тремя функциями и волнового числа k или энергии E. Аналогично второй барьер может быть охарактеризован величинами и . Двум барьерам вместе, рассматриваемым как одна сложная барьерная структура, также можно приписать коэффициент отражения R, который может быть выражен в и отдельных барьеров. Однако мы не можем просто перемножить (1- ) и (1- ), чтобы найти (1-R): колодец между барьерами служит резонатором, в котором прошедшая и отраженная волны могут интерферировать деструктивно или конструктивно. Принимая во внимание эту интерференцию, мы получаем общее (1-R), определяемое как:
Birinchi to'siqqa (kengligi . balandligi to'sig'i bo'ylab potentsial tushishi ) ko'zgu koeffitsienti endi kiruvchi energiya to'lqinining qisman to'siq tomonidan aks ettirilishini anglatadi, natijada to'lqini paydo bo'ladi va qisman uzatiladi, to'lqinga olib keladigan , , To'siq to'liq uchta funksiya bilan tavsiflanadi va to'lqin raqami k yoki energiya E. Shunga o'xshash tarzda, ikkinchi to'siq va miqdorlari bilan tavsiflanishi mumkin. Bitta murakkab to'siq strukturasi sifatida ko'rilgan ikkita to'siqga, shuningdek, alohida to'siqlarning va da ifodalanishi mumkin bo'lgan aks ettirish koeffitsienti R ni ham kiritish mumkin. Biroq, biz (1- ) va (1- ) ni (1-R) topish uchun oddiygina ko'paytira olmaymiz: to'siqlar orasidagi quduq rezonator bo'lib xizmat qiladi, unda uzatilgan va aks ettirilgan to'lqinlar halokatli yoki konstruktiv tarzda aralashishi mumkin. Ushbu aralashuvni hisobga olgan holda, umumiy (1-R) hosil bo'ladi:


(1)

where and

где и
qaerda va
Since the energy dependence of 1-R is dominated by the positions of the maxima of 1-R are fairly well determined by the equation
Поскольку в энергетической зависимости 1-R преобладает , положения максимумов 1-R достаточно хорошо определяются уравнением
1-R ning energiyaga bog'liqligi tomonidan hukmronlik qilganligi sababli, 1-R maksimallarining pozitsiyalari tenglama bilan juda yaxshi aniqlanadi.


(2)
This is the resonance condition and for every n we may find a resonance energy as a solution of (2). In the following we will consider one resonance energy (the lowest; n=0) only. From (1) we see that:
Это условие резонанса, и для каждого n мы можем найти резонансную энергию как решение уравнения (2). В дальнейшем мы будем рассматривать только одну резонансную энергию (самую низкую; n=0). Из (1) мы видим, что:
Bu rezonans sharti va har bir n uchun (2) ning eritmasi sifatida rezonans energiyasini topishimiz mumkin. Quyida biz faqat bitta rezonans energiyasini (eng past; n=0) ko'rib chiqamiz. (1) dan biz buni ko'ramiz:
(3) corresponding to a peak-to-valley ratio of , which can be, for , as large as . The first maximum is thus a sharp peak, to which (if ) can be attributed a line width (full width at half maximum), which can be derived straightforwardly from (1):
соответствует отношению пика к минимуму , которое может быть, для , таким большим, как . Таким образом, первый максимум представляет собой острый пик, которому (если ) можно приписать ширину линии (полная ширина на половине максимума), которая может быть получена непосредственно из (1):
ning cho'qqi-vodiy nisbatiga mos keladi, u for bo'lishi mumkin, ga teng. Shunday qilib, birinchi maksimal o'tkir cho'qqi bo'lib, unga (agar ) chiziq kengligi (to'liq kenglik yarmi maksimal) bilan bog'liq bo'lishi mumkin, uni (1) dan to'g'ridan-to'g'ri olish mumkin:
(4)
From (3) we see that for the maximum of (1-R) equals unity. However, a good measure of the resonance's weight is the area under the peak rather than its height. Integrating over a from to , we find this area S to be:
Из (3) мы видим, что для максимума (1-R) равно единице. Однако хорошей мерой веса резонанса является площадь под пиком, а не его высота. Интегрируя по a от до , мы находим эту площадь S равной:
(3) dan biz maksimal (1-R) uchun birlikka teng ekanligini ko'ramiz. Biroq, rezonans og'irligining yaxshi o'lchovi uning balandligi emas, balki cho'qqi ostidagi maydondir. a ni dan ga integrallab, biz ushbu S maydonini topamiz:
(5)
One might conclude from (3) to (5) that only and are important, and that we can ignore the phase shifts and all together. However, and must be evaluated at , and since is determined by these phase shifts via (2), it follows that the phases play an essential role in this approach. If both and are close to unity, the peak is so sharp that, in integrations, we can approximate 1-R by a function,
Из (3)-(5) можно сделать вывод, что важны только и , и что мы можем игнорировать фазовые сдвиги и все вместе. Однако и должны оцениваться при , а поскольку определяется этими фазовыми сдвигами через (2), отсюда следует, что фазы играют существенную роль в этом подходе. Если и , и близки к единице, пик настолько острый, что при интегрировании мы можем аппроксимировать 1-R функцией
(3) dan (5) gacha faqat va muhim degan xulosaga kelish mumkin va biz va fazali siljishlarni birgalikda e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin. Biroq, va da baholanishi kerak va (2) orqali faza siljishi bilan aniqlanganligi sababli, fazalar ushbu yondashuvda muhim rol o'ynaydi. Agar va ikkalasi birlikka yaqin bo'lsa, cho'qqi shunchalik keskinki, integratsiyada biz funktsiyasi orqali 1-R ga yaqinlashishi mumkin,
(6)
From (6) we see that the double barrier filters out precisely the energy an energy channel is defined, through which the electrons with can pass to the well and through the whole structure. The resonance is not a truly bound state, since there is always a possibility for the particle to leave the well by tunneling through one of the two barriers (i.e. the wave function lea.ks out of the well). This implies a broadening of the resonance level. Although working with a time-independent SchrOdinger equation, we can use this to make an estimate of the life time , writing [12]:
Из (6) мы видим, что двойной барьер отфильтровывает именно энергию , определяется энергетический канал, по которому электроны с могут проходить в яму и через всю структуру. Резонанс не является действительно связанным состоянием, так как всегда есть возможность для частицы покинуть яму, туннелируя через один из двух барьеров (т. е. волновая функция вытекает из ямы). Это означает уширение резонансного уровня. Хотя мы работаем с не зависящим от времени уравнением Шредингера, мы можем использовать его для оценки времени жизни , написав [12]:
(6) dan biz qo'sh to'siq energiyasini aniq filtrlashini ko'ramiz, energiya kanali aniqlanadi, bu orqali bo'lgan elektronlar quduqqa va butun tuzilishga o'tishi mumkin. Rezonans chinakam bog‘langan holat emas, chunki zarrachaning ikkita to‘siqdan biri orqali tunnel o‘tkazib quduqdan chiqib ketishi har doim ham mumkin (ya’ni, to‘lqin funksiyasi quduqdan tashqariga chiqadi). Bu rezonans darajasining kengayishini anglatadi. Vaqtga bog'liq bo'lmagan SchrOdinger tenglamasi bilan ishlagan bo'lsak-da, biz undan ishlash muddatini taxmin qilish uchun foydalanishimiz mumkin, yozing [12]:
(7)
where This is by a factor larger than the time needed to traverse the well. We will look at as a measure of the time that the electrons spend in the well (the so-called dwell time, see Section 6). Let us now calculate the densities in the well and the spacer layers on the left and the right side of the structure. Since the wave functions are plane waves, we have to consider only one z-value in each layer. In the left-hand spacer, there are an incoming and a reflected wave:
где Это в раза больше времени, необходимого для прохождения скважины. Мы будем рассматривать как меру времени, которое электроны проводят в яме (так называемое время пребывания, см. раздел 6). Теперь рассчитаем плотности в колодце и в прокладочных слоях с левой и с правой стороны конструкции. Поскольку волновые функции представляют собой плоские волны, мы должны учитывать только одно значение z в каждом слое. В левой прокладке находятся падающая и отражённая волны:
Bu erda Bu quduqni bosib o'tish uchun zarur bo'lgan vaqtdan koeffitsientga katta. Biz ni elektronlar quduqda o'tkazadigan vaqt o'lchovi sifatida ko'rib chiqamiz (to'xtash vaqti deb ataladi, 6-bo'limga qarang). Keling, quduqdagi zichliklarni va strukturaning chap va o'ng tomonidagi ajratuvchi qatlamlarni hisoblaylik. To'lqin funktsiyalari tekis to'lqinlar bo'lgani uchun biz har bir qatlamda faqat bitta z-qiymatini hisobga olishimiz kerak. Chap tomondagi bo'shliqda kiruvchi va aks ettirilgan to'lqin mavjud:
(8a)
while in the right-hand spacer, there is only a transmitted wave:
а в правой прокладке только прошедшая волна:
o'ng tomondagi bo'shliqda faqat uzatiladigan to'lqin mavjud:
(8b)
In the case of the well, a little algebra leads to:
В случае с колодцем немного алгебры приводит к:
Quduq holatida ozgina algebra quyidagilarga olib keladi:
(8c)
Because of the energy filtering by the barrier structure, the electronic densities both in the well and at the end of the structure contain the factor 1-R, thus exhibiting the same resonant structure. However, this does not imply that the electrons in these regions a.11 have the same energy, since the E in (8) is only the part of the energy associated with the tunneling direction. To find the energy distribution in the well and at the end of the structure, we have to consider the problem in all three dimensions.
Из-за фильтрации энергии барьерной структурой электронные плотности как в яме, так и на конце структуры содержат множитель 1-R, демонстрируя, таким образом, одинаковую резонансную структуру. Однако это не означает, что электроны в этих областях а,11 имеют одинаковую энергию, так как Е в (8) — это только часть энергии, связанная с направлением туннелирования. Чтобы найти распределение энергии в скважине и на конце конструкции, мы должны рассмотреть задачу во всех трех измерениях.
To'siq tuzilmasi energiyani filtrlashi tufayli quduqdagi ham, strukturaning oxiridagi elektron zichliklar 1-R faktorini o'z ichiga oladi, shuning uchun bir xil rezonans tuzilmasini namoyish etadi. Biroq, bu a.11 mintaqalaridagi elektronlar bir xil energiyaga ega ekanligini anglatmaydi, chunki (8) dagi E energiyaning faqat tunnel yo'nalishi bilan bog'liq qismidir. Quduqda va strukturaning oxirida energiya taqsimotini topish uchun biz muammoni barcha uch o'lchovda ko'rib chiqishimiz kerak.

3.