In this chapter, the effect of an external static electric field is described within the BenDa niel-Duke model for the conduction band, introduced in the previous chapter. In Section 4

4.2. The accumulation and depletion layer
4.2. Слой накопления и истощения
4.2. Akkumulyatsiya va kamayish qatlami

The electric field in the DBRT structure due to the applied bias voltage is accompanied by space charge in the doped contact regions to the left and the right of the central intrinsic layers. Generally, a charge sheet of zero width is assumed, yielding a constant field inside and no field outside the central structure. Such a potential profile is reasonable for structures having heavily doped electrodes that extend up to the barriers. In the case of moderately doped electrodes or undoped spacer layers, it does not apply. Screening lengths on either side of the central layers are then to be introduced, A more realistic charge distribution would extend into the doped layers, causing substantial band bending according to Poisson's equation:

Электрическое поле в структуре ДБРТ за счет приложенного напряжения смещения сопровождается объемным зарядом в легированных контактных областях слева и справа от центральных собственных слоев. Обычно предполагается, что слой заряда имеет нулевую ширину, что дает постоянное поле внутри и отсутствие поля снаружи центральной структуры. Такой профиль потенциала целесообразен для структур с сильно легированными электродами, достигающими барьеров. В случае умеренно легированных электродов или нелегированных промежуточных слоев это не применимо. Затем необходимо ввести экранирующие длины по обе стороны от центральных слоев. Более реалистичное распределение заряда будет распространяться на легированные слои, вызывая существенный изгиб зон в соответствии с уравнением Пуассона:
Qo'llaniladigan egilish kuchlanishi tufayli DBRT strukturasidagi elektr maydoni markaziy ichki qatlamlarning chap va o'ng tomonidagi doplangan aloqa hududlarida kosmik zaryad bilan birga keladi. Odatda, nol kenglikdagi zaryad varag'i qabul qilinadi, uning ichida doimiy maydon hosil bo'ladi va markaziy strukturaning tashqarisida hech qanday maydon yo'q. Bunday potentsial profil to'siqlarga qadar cho'zilgan kuchli doplangan elektrodlarga ega bo'lgan tuzilmalar uchun oqilona. O'rtacha qo'shilgan elektrodlar yoki qo'llanilmagan ajratuvchi qatlamlar bo'lsa, u qo'llanilmaydi. Keyin markaziy qatlamlarning har ikki tomonida skrining uzunliklari kiritiladi, aniqroq zaryad taqsimoti qo'shimcha qatlamlarga tarqalib, Puasson tenglamasiga ko'ra sezilarli tarmoqli egilishiga olib keladi:


(4.1) where is the conduction band minimum, and is the static dielectric constant that may be different in layers of different material ( for material A, B). is the charge density that can be written as:
где — минимум зоны проводимости, а — статическая диэлектрическая проницаемость, которая может быть разной в слоях из разных материалов ( для материалов A, B). — плотность заряда, которую можно записать в виде:
Bu erda - o'tkazuvchanlik zonasining minimal darajasi va - turli materiallar qatlamlarida har xil bo'lishi mumkin bo'lgan statik dielektrik doimiydir (A, B materiali uchun ). - zaryad zichligi, uni quyidagicha yozish mumkin:


(4.2)
where is the doping profile, and the density of conduction band electrons. The boundary conditions for (4.1) are . Since the total structure must remain charge neutral, an additional restriction is obtained from:
где — профиль легирования, — плотность электронов зоны проводимости. Граничные условия для (4.1) — . Поскольку вся структура должна оставаться нейтральной по заряду, возникает дополнительное ограничение:
Bu erda - doping profili va o'tkazuvchanlik zonasi elektronlarining zichligi. (4.1) uchun chegara shartlari dir. Umumiy struktura zaryadsiz qolishi kerakligi sababli, qo'shimcha cheklov quyidagilardan olinadi:
(4.3)
which reads in terms of the electric displacement F(z) the electric field:
что читается в терминах электрического смещения F(z) электрического поля:
F(z) elektr maydonining elektr almashinuvi nuqtai nazaridan o'qiydi:
.
To solve (4.1) we need an expression for the electron density . An approximate expression for can be borrowed from the well-known ThomasFermi screening theory, generalizing the equilibrium expression:
Для решения (4.1) нам понадобится выражение для плотности электронов . Приближенное выражение для можно позаимствовать из известной теории экранирования Томаса-Ферми, обобщая равновесное выражение:
(4.1) ni yechish uchun elektron zichligi uchun ifoda kerak. ning taxminiy ifodasini muvozanat ifodasini umumlashtiruvchi mashhur TomasFermi skrining nazariyasidan olish mumkin:
(4.4)

valid for constant to cases where varies slowly with position. Let us denote the well and barrier widths by and , and choose to be the middle of the well. Writing:
справедливо для постоянного до случаев, когда медленно изменяется с положением. Обозначим ширину колодца и барьера через и и выберем в качестве середины колодца. Пишу:
pozitsiyaga qarab sekin o'zgarib turadigan holatlarga doimiy uchun amal qiladi. Quduq va to‘siq kengliklarini va bilan belgilaymiz va quduq o‘rtasi sifatida ni tanlaymiz. Yozish:

for or (4.5a)

and zero otherwise, and:
и ноль в противном случае, и:
va aks holda nol, va:
(4.5b)

where the chemical potentials are given by:
где химические потенциалы определяются выражением:
Bu erda kimyoviy potentsiallar quyidagicha ifodalanadi:

we can solve the system (4.1-2) numerically. There are, however, many reasons (to be mentioned later) to not take this solution very seriously, especially for large bias . Here, we will present only a drastic simplification.
мы можем решить систему (4.1-2) численно. Однако есть много причин (которые будут упомянуты позже) не принимать это решение всерьез, особенно при большом смещении . Здесь мы приведем лишь радикальное упрощение.
sistemani (4.1-2) son bilan yecha olamiz. Biroq, bu yechimni juda jiddiy qabul qilmaslik uchun ko'p sabablar bor (keyinchalik aytib o'tamiz), ayniqsa katta tarafkashlik uchun. Bu erda biz faqat keskin soddalashtirishni taqdim etamiz.
In this simplification, we do not link the functions n(z) and to each other, but their average values and in the accumulation layer, to the left of the first reservoir, and and in the depletion layer to the right of the second reservoir. Now (4.5b) becomes:
В этом упрощении мы связываем не функции n(z) и друг с другом, а их средние значения и в аккумуляционном слое, слева от первого резервуара, и и в слой справа от второй залежи. Теперь (4.5b) становится:
Bu soddalashtirishda biz n(z) va funksiyalarni bir-biriga bog‘lamaymiz, balki ularning to‘planish qatlamidagi o‘rtacha qiymatlari va , birinchi rezervuarning chap tomonida, kamayishida esa va . ikkinchi suv omborining o'ng tomonidagi qatlam. Endi (4.5b) quyidagicha bo'ladi:

(4.6)

and zero otherwise. In (4.6), and are the widths of the accumulation and depletion .layer, to be determined by a selfconsistent solution of the system. Subsituting (4.6) in Poisson's equation (4.1), we obtain the potential drops in both charge layers:

и ноль в противном случае. В (4.6) и — ширины слоев накопления и обеднения, определяемые самосогласованным решением системы. Подставляя (4.6) в уравнение Пуассона (4.1), получаем падения потенциала в обоих слоях заряда:
va aks holda nolga teng. (4.6) da va - tizimning o'z-o'zidan izchil yechimi bilan aniqlanishi kerak bo'lgan to'planish va kamayish .qatlamining kengligi. Puasson tenglamasida (4.1) (4.6) o'rniga ikkala zaryad qatlamidagi potentsial pasayishlarni olamiz:
(4.7)

Charge neutrality (4.3) yields:
Зарядовая нейтральность (4.3) дает:
Zaryad neytralligi (4.3) quyidagi natijalarni beradi:
(4.8)
The electric displacement D in the central layers inside the "capa.citor is: , so that the voltage drop across the well and barriers is found to be:
Электрическое смещение D в центральных слоях внутри конденсатора равно: , так что падение напряжения на яме и барьерах оказывается равным:
"Kondensator" ichidagi markaziy qatlamlardagi elektr siljishi D: , shuning uchun quduq va to'siqlar bo'ylab kuchlanish pasayishi aniqlanadi:

The total voltage drop across the total structure including the electrodes must equal the applied bias :voltage, which boundary condition reads:
Общее падение напряжения на всей конструкции, включая электроды, должно равняться приложенному смещению: напряжению, которое гласит:
Elektrodlarni o'z ichiga olgan holda umumiy strukturadagi kuchlanishning umumiy pasayishi qo'llaniladigan egilishga teng bo'lishi kerak: kuchlanish, chegara sharti:
(4.9)
Eqs.(4.6-9) constitute a system of six equations with six unknown quantities: , , and , , , that can hence be solved. The lengths and are of the order of the Debye or Thomas-Fermi screening length, as can be seen as follows. For the accumulation layer, Eqs.(4.1-4) can be combined into a single second-order, non-linear differential equation:
Уравнения (4.6-9) составляют систему шести уравнений с шестью неизвестными: , , и , , , которые, следовательно, могут быть решены. Длины и имеют порядок длины экранирования Дебая или Томаса-Ферми, как видно из следующего. Для накопительного слоя уравнения (4.1-4) можно объединить в одно нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
(4.6-9) tenglamalar oltita noma'lum kattaliklarga ega bo'lgan oltita tenglamalar tizimini tashkil qiladi: , , va , , , shuning uchun ularni yechish mumkin. va uzunliklari Debye yoki Tomas-Fermi skrining uzunligiga teng, buni quyidagicha ko'rish mumkin. Akkumulyatsiya qatlami uchun (4.1-4) tenglamalarni bitta ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamaga birlashtirish mumkin:


where we have made use of the property of the Fermi-Dirac integrals, that . We can formally solve this equation by substituting:
где мы использовали свойство интегралов Ферми-Дирака, что . Мы можем формально решить это уравнение, подставив:
Bu erda biz Fermi-Dirak integrallarining xususiyatidan foydalanganmiz, bu . Bu tenglamani quyidagi o‘rniga rasmiy ravishda yechishimiz mumkin:

which automatically satisfies one boundary condition: . This leaves one parameter, , to be determined by the other boundary condition, while all other coefficients are recursi:vely related to
который автоматически удовлетворяет одному граничному условию: . Это оставляет один параметр, , определяемым другим граничным условием, в то время как все остальные коэффициенты рекурсивно связаны с
avtomatik ravishda bitta chegara shartini qondiradi: . Bu bitta parametr ni boshqa chegara sharti bilan aniqlash uchun qoldiradi, qolgan barcha koeffitsientlar esa rekursiv bog'liqdir.
:
The inverse screening length q₀ is found to equal:
Обратная длина экранирования q₀ оказывается равной:
Teskari skrining uzunligi q₀ teng deb topildi:
(4.10)
which for high temeratures approximates the inverse Debye length:
которая для высоких температур аппроксимирует обратную длину Дебая:
Bu yuqori haroratlar uchun teskari Debay uzunligiga yaqinlashadi:

and for low temperatures reduces to the well-known Thomas-Fermi expression:
а для низких температур сводится к известному выражению Томаса-Ферми:
past haroratlar uchun esa mashhur Tomas-Fermi ifodasiga kamayadi:

where is the Fermi wave number , and is the effective Bohr radius. Hence for la.rge negative z the band minimum decays exponentially over a length For small , we find for the system (4.6-9) that:
где — волновое число Ферми , — эффективный боровский радиус. Следовательно, при больших отрицательных z минимум полосы экспоненциально затухает на длине . При малых , для системы (4.6-9) находим, что:
Bu erda - Fermi to'lqinining soni va samarali Bor radiusi. Demak, katta manfiy z uchun minimal bandi uzunlikda eksponent ravishda parchalanadi. Kichik , uchun tizim (4.6-9) uchun quyidagilarni topamiz:

Thus is a decreasing, an increasing function of .

In the same way, the average potential in the accumulation layer is found to be:
Этот является убывающей, и возрастающей функцией . Таким же образом находится средний потенциал в аккумулятивном слое:
Bu ning kamayuvchi, va ortib borayotgan funksiyasi. Xuddi shu tarzda, akkumulyatsiya qatlamidagi o'rtacha potentsial quyidagicha topiladi:
(4.11)
We now introduce an effective Fermi energy by writing (4.6) for the accumulation layer as . Hence . Through the last term, the effective Fermi energy will depend on the applied bias. For small , we have, using (4.11):
Теперь введем эффективную энергию Ферми, записав (4.6) для слоя накопления как . Отсюда . Через последний член эффективная энергия Ферми будет зависеть от приложенного смещения. При малых имеем, используя (4.11):
Endi biz to'planish qatlami uchun (4.6) deb yozish orqali samarali Fermi energiyasini kiritamiz. Shuning uchun . Oxirgi muddat davomida samarali Fermi energiyasi qo'llaniladigan moyillikka bog'liq bo'ladi. Kichik uchun biz (4.11) dan foydalanamiz: