Ilmiy rahbar: Mirzakarimova. N farg’ona-2021 reja kirish I bob. Boshlang’ich tushunchalar

1-natija. Faraz qilaylik P sonlar maydoni ustida bosh koeffitsienti 1 ga teng
f(x) = xⁿ+a_lx^n-1 + a₂x^n-2+...+a_p–1x + a_n (15)
ko‘phad berilgan bo‘lib, α₁,α₂,...,α_n uning ildizlari bo‘lsin. U holda P sonlar maydoni ustida berilgan har qanday n noma’lumli f(x₁,x₂…,x_n) ko‘phadning x_i= α_i (i=l…n) dagi f(α₁, α₂,..., α_n) qiymati P sonlar maydoniga tegishli bo‘ladi.
Isboti. Simmetrik ko‘phadlar haqidagi asosiy teoremaga ko‘ra
f(x₁,x₂,...,x_n)=g(τ₁, τ₂,…, τ_n)
bo‘ladi.α₁,α₂,...,α_n lar f(x) ko‘phadning ildizlari bo‘lgani uchun f(x) ni
f(x)= (x- α₁)(x- α₂)...(x-α_n) (16)
ko‘rinishda yozish mumkin, (16) ning o‘ng tomonini hadlab ko‘paytirsak, f(x)=xⁿ-(α₁+α₂+...+α_n)x^n-1+(α₁α₂+α₁α₃+...+α_1n-1α_n)x^n-2- -(α₁α₂α₃+...+α_n-2α_n-1α_n)x^n-3+…+(-1)ⁿα₁α₂α₃...α_n (17)
ga ega bo‘lamiz. (15) va (17) ning ung tomonlarini soddalashtirib, Viyet formulalari deb ataluvchi quyidagi formulalarni hosil qilamiz:
α₁+α₂+...+α_n=-a₁ τ₁=-a₁;
α₁α₂+α₁α₃+...+α_1n-1α_n=a₂, τ₂=a₂;
α₁α₂α₃+ α₁α₂α₄+...+α_n-2α_n-1α_n τ₃=-a₃; (18)
………………………………………………..
α₁α₂α₃...α_n=(-1)ⁿa_n, τ_n=(-1)a_n
(18) tenglikdan asosiy simmetrik ko‘phadlarning qiymatlarini f(x₁,x₂,...,x_n)=g(τ₁,τ₂,...,τ_n) tenglikka qo‘ysak,
f(α₁,α₂,...,α_n) = φ(-a₁, a₂, ... , (-1)ⁿa_p)
kelib chiqadi. f(x) va f(x₁,x₂,...,x_n) ko‘phadlarning koeffitsientlari P sonlar maydoniga tegishli bo‘lganligidan φ(-a₁, a₂, ... ,(-1)ⁿa_n)=bP bo‘ladi.
2.2-§. Bir o`zgaruvchili va bir jinsli ko`phad.Ko’phadning leksikografik tartibi

Birhadlar yig'indisi ko'phad deyiladi. Masalan, , ifodalarning har biri ko'phaddir. Ko'phad tarkibidagi eng katta darajali birhadning darajasi shu ko'phadning darajasi deyiladi. Masalan, , ikkinchi darajali ko'phaddir.

, ko'phadlarni qaraylik, ular bitta ko'phadning ikki ko'rinishli yozuvi. Ulardan ikkinchisi o'zgaruvchi daraja ko'rsatkichlarining kamayib borishi tartibida, ya'ni standart ko'rinishdagi yozuvdir. Ko'p argumentli ko'phadlar ham standart ko'rinishda yozilishi mumkin. o'zgaruvchilar, lar noldan farqli sonlar bo'lsin. va birhadlarni solishtiraylik. lekin bo'lsa, birinchi birhad ikkinchisidan katta, chunki ulardagi x va y lar daraja ko'rsatkichlari bir xil bo'lsa-da, z ning ko'rsatkichi birinchi birhadda katta. Agar ko'p o'zgaruvchili ko'phadda har qaysi qo'shiluvchi o'zidan o'ngda turgan barcha qo'shiluvchilardan katta bo'lsa, qo'shiluvchilar lug'aviy (leksikografik) tartibda joylashtirilgan deyiladi.
Masalan: ko'phadning qo'shiluvchilari lug'aviy tartibda joylashtirilgan.Agar ko'phadning barcha hadlarida o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi ga teng bo'lsa, uni - darajali bir jinsli ko 'phad deyiladi. Masalan, — birinchi darajali bir jinsli (bunda =l), — uchinchi darajali ( = 3) bir jinsli ko'phad.Agar birhad darajali bo'lsa, ixtiyoriy umumiy ko'paytuvchi uchun ga ega bo'lamiz. Agar ixtiyoriy soni uchun tenglik bajarilsa, ko'phad funksiya) m- darajali bir jinsli ko'phad (funksiya) bo'ladi. Masalan, funksiya 3-darajali bir jinsli funksiyadir, chunki .Shu kabi,
-uchinchi darajali , nolinchi darajali , birinchi darajali (m = 1), bir jinsli funksiyalardir. Agar ko'phadda x o'rniga y, y o'rniga x yozilsa (ya'ni x va y lar o'rin almashtirilsa), oldingi ko'phadning o'zi hosil bo'ladi.
Agar ko'phad tarkibidagi harflarning har qanday o'rin almashtirilishida unga aynan teng ko'phad hosil bo'lsa, P ko'phad simmetrik ko'phad deyiladi. Simmetrik ko'phadda qo'shiluvchilar o'rin almashtirilganda yig'indi, ko'paytuvchilar o'rin almashtirilganda ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifodadagi qavslar ochilsa, λ darajalarining koeffitsientlari sifatida o'zgaruvchilarning simmetrik ko'phadlari turgan bo'ladi. Ular asosiy simmetrik ko 'phadlar deyiladi. Masalan, o'zgaruvchilar soni bo'lsa, bo'lib, asosiy simmetrik ko'phadlar va bo'ladi. Ularni , orqali ifodalaymiz. Shu kabi, n=2 da , , bo'ladi. Bulardan tashqari, quyidagi ko'rinishdagi (n ta qo'shiluvchi),
darajali yig'indilar ham simmetrik ko'phadlardir.
Teorema. Ixtiyoriy darajali yig‘indi s1= x + y va larning ko‘phadi ko‘rinishida tasvirlanishi mumkin.
Isbot. Haqiqatan, k = 1 da ,k=2 da . Teorema va (bunda 1 ≤ n ≤ k, k ≤ 2) uchun to‘g‘ri bo‘lsin. Uning uchun to‘g‘riligini isbotlaymiz:

.
Faraz bo‘yicha va lar uchun teorema to‘g‘ri edi. Demak, teorema uchun ham to‘g‘ri.
Teorema. o‘zgaruvchilari har qanday simmetrik ko‘phad yagona ravishda shu o‘zgaruvchilardan tuzilgan asosiy simmetrik ko‘phadlardan iborat bo‘ladi.
Isbot. bo‘lgan holni qaraymiz. simmetrik ko‘phad qo‘shiluvchiga ega bo‘lsin. Agar bo‘lsa, bu qo‘shiluvchi ga, ya’ni ga teng, bo‘lsa, ning tarkibida bilan bir qatorda x va y larni o‘rin almashtirishdan hosil bo‘luvchi axmyk qo‘shiluvchi ham bo‘ladi:

Lekin 1-teoremaga muvofiq ixtiyoriy darajali yig‘indi, demak, P simmetrik ko‘phad ham har doim orqali ifodalanadi.
1-misol. simmetrik ko‘p- hadni va lar orqali ifodalaymiz.
Yechish.
ko‘rinishdagi butun ratsional ifoda bir o‘zgaruvchili n-darajali ko‘phad deyiladi. Har qanday son 0-darajali ko‘phaddan iborat. 0soni esa darajaga ega bo‘lmagan ko‘phad. anxn qo‘shiluvchi ko‘phadning bosh hadi, esa uning ozod hadi deyiladi.
Teorema. O‘zgaruvchi x bo‘yicha tuzilgan har qanday butun ratsional ifoda
(1.8)

ko‘rinishdagi ifodaga aynan tengdir, bunda – haqiqiy sonlar, .

Masalan, hadlarda birinchisi ikkinchidan yuqori, va hadlarda esa ikkinchisi yuqori.
ko’phadni yozishda birinchi o’ringa eng yuqori hadni, ikkinchi o’ringa qolgan hadlar orasida eng yuqori bo’lgan hadni, uchinchi o’ringa qolgan hadlar orasidagi eng yuqori hadni va shu jarayon oxirgi had uchun yozilsa, u holda ko’phad leksikografik yozilgan deyiladi.
Masalan,

ko’phadning leksikografik yozilishi quyidagicha bo’ladi:
Demak, yuqoridagi tartiblashga asosan, ning darajalari qatnashgan hadlarni qaraylik. Bu hadlarda ning darajasi teng bo’lganligi sababli bu hadlardagi ning darajasini ko’rib o’tamiz. Birinchi o’ringa hadni, ikkinchi o’ringa hadni yozib olamiz. Keying o’rinlarga yozish uchun ham ning darajasini ko’rib o’tamiz. Bu holda ham qolgan hadlar orasidagi ning darajasi bir xil bo’lganligi bois, shu hadlardagi ning darajasini qaraymiz. ning ham darajalari tengdir. Shu sababli ning darajasi kattasini olamiz. Uchunchi o’ringa ni yozib, yuqoridagi bosqichlarni takrorlaymiz va quyidagi natijaga ega bo’lamiz:
.
Teorema. Ko’p noma’lumli ko’phadlar ko’paytmasining eng yuqori hadi
bu ko’phadlar eng yuqori hadlari ko’paytmasiga teng.