Ikkita parabola tenglamalari bilan berilgan ularning umumiy urinmasini tenglamasini tuzish algoritmini tushuntirish Reja

Ellips, giperbola, parabolaning umumiy xossalari

1. Katalog xususiyatidan ellips, giperbola, parabolaning yagona ta’rifi sifatida foydalanish mumkin (3.50-rasmga qarang): tekislikdagi nuqtalar joylashuvi, ularning har biri uchun masofaning ma'lum bir nuqtadan o'tmaydigan d to'g'ri chiziqqa (to'g'ri chiziq) masofaga F (fokus) nisbati doimiy va tengdir. ekssentriklik e, deyiladi:

a) ellips, agar 0 \ leqslant e<1 ;

b) giperbola, agar e> 1 bo'lsa;

c) parabola, agar e = 1 bo'lsa.

2. Ellips, giperbola, parabola tekisliklar orqali aylana konusning kesmalarida olinadi va shuning uchun deyiladi. konusning kesimlari... Bu xususiyat ellips, giperbola, parabolaning geometrik ta'rifi sifatida ham xizmat qilishi mumkin.

3. Ellipsning umumiy xossalari qatoriga giperbola va parabola kiradi bisektrial xususiyat ularning tangenslari. ostida tangens KM nuqtasining bir qismidagi chiziqqa, ko'rib chiqilayotgan chiziqda qolgan M nuqta K nuqtaga moyil bo'lganda, sekant KM ning chegaralanish holati tushuniladi. Chiziqga tangensga perpendikulyar va teginish nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi normal bu qatorga.

Ellips, giperbola va parabolaga tegishlarning (va normallarning) bisektorial xossasi quyidagicha ifodalanadi: ellipsga yoki giperbolaga tegish (normal) teginish nuqtasining fokus radiuslari bilan teng burchaklarni hosil qiladi.(3.51-rasm, a, b); parabolaga teguvchi (normal) tangens nuqtaning fokus radiusi va undan direktrisaga tushirilgan perpendikulyar bilan teng burchak hosil qiladi.(3.51-rasm, c). Boshqacha qilib aytganda, K nuqtadagi ellipsga teginish F_1KF_2 uchburchakning tashqi burchagining bissektrisasi (va normal uchburchakning F_1KF_2 ichki burchagining bissektrisasi); giperbolaga tegish F_1KF_2 uchburchak ichki burchagining bissektrisasi (normal esa tashqi burchakning bissektrisasi); parabolaga tegish FKK_d uchburchakning ichki burchagining bissektrisasi (normal esa tashqi burchakning bissektrisasi). Parabolaga tegishning bissektrial xossasini, agar parabolaning cheksizlik nuqtasida ikkinchi fokusi bor deb faraz qilsak, xuddi ellips va giperbola kabi formulalash mumkin.

4. Biseksektorial xossalar nazarda tutadi ellips, giperbola va parabolaning optik xossalari"fokus" atamasining jismoniy ma'nosini tushuntirish. Ellips, giperbola yoki parabolaning fokus o'qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan sirtlarni tasavvur qiling. Agar bu sirtlarga aks ettiruvchi qoplama qo'llanilsa, elliptik, giperbolik va parabolik nometall olinadi. Optika qonuniga ko'ra, yorug'lik nurining oynaga tushish burchagi aks ettirish burchagiga teng, ya'ni. tushayotgan va aks ettirilgan nurlar sirtning normali bilan teng burchak hosil qiladi va ikkala nur va aylanish o'qi bir tekislikda bo'ladi. Shunday qilib, biz quyidagi xususiyatlarni olamiz:

- agar yorug'lik manbai elliptik oynaning fokuslaridan birida bo'lsa, u holda oynadan aks ettirilgan yorug'lik nurlari boshqa fokusda to'planadi (3.52-rasm, a);

- agar yorug'lik manbai giperbolik oynaning fokuslaridan birida bo'lsa, u holda oynadan aks ettirilgan yorug'lik nurlari xuddi boshqa fokusdan kelgandek ajralib chiqadi (3.52-rasm, b);

- agar yorug'lik manbai parabolik oynaning fokusida bo'lsa, u holda oynadan aks ettirilgan yorug'lik nurlari fokus o'qiga parallel ravishda boradi (3.52-rasm, v).

5. Diametrli xususiyat ellips, giperbola va parabolani quyidagicha shakllantirish mumkin:

– ellipsning parallel akkordlarining o'rta nuqtalari (giperbola) ellips markazidan (giperbola) o'tadigan bitta to'g'ri chiziqda yotadi.;

– parabolaning parallel akkordlarining o'rta nuqtalari parabolaning simmetriya o'qiga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqda yotadi..

Ellipsning barcha parallel akkordlarining (giperbola, parabola) o'rta nuqtalarining joylashuvi deyiladi. ellipsning diametri (giperbola, parabola) bu akkordlarga konjugat.

Bu tor ma'noda diametrning ta'rifi (2.8-misolga qarang). Ilgari keng ma'noda diametrning ta'rifi berilgan edi, bu erda ellips, giperbola, parabola va ikkinchi tartibdagi boshqa chiziqlar diametri barcha parallel akkordlarning o'rta nuqtalarini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq deb ataladi. Tor ma'noda ellipsning diametri uning markazidan o'tadigan har qanday akkorddir (3.53-rasm, a); giperbolaning diametri - giperbolaning markazidan o'tadigan har qanday to'g'ri chiziq (asimptotalardan tashqari) yoki bunday to'g'ri chiziqning bir qismi (3.53.6-rasm); parabola diametri - parabolaning ma'lum bir nuqtasidan chiqadigan va simmetriya o'qiga to'g'ri keladigan har qanday nur (3.53-rasm, c).

Har biri boshqa diametrga parallel ravishda barcha akkordlarni ikkiga bo'lgan ikkita diametrga konjugat deyiladi. 3.53-rasmda qalin chiziqlar ellips, giperbola va parabolaning konjugat diametrlarini ifodalaydi.

K nuqtadagi ellipsga (giperbola, parabola) teginish M_1M_2 parallel sekantlarning chegaralangan pozitsiyasi sifatida belgilanishi mumkin, bunda ko'rib chiqilayotgan chiziqda qolgan M_1 va M_2 nuqtalari K nuqtaga moyil bo'ladi. Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, akkordlarga parallel bo'lgan tangens bu akkordlarga diametr konjugatining oxiridan o'tadi.

6. Ellips, giperbola va parabola yuqoridagilardan tashqari, ko'p sonli geometrik xossalarga va fizik qo'llanilishiga ega. Masalan, 3.50-rasm F attraktsion markaziga yaqin joyda joylashgan kosmik jismlarning traektoriyalarining illyustratsiyasi sifatida xizmat qilishi mumkin.