И здан и е второе, стереотипное

§ 2 . О п е р а т о р Г и л ь б е р т а
Рассмотрим множ ество М 2л-периодических, абсолютно 
непреры вны х на [ —
т.,
тс] функций, имеющих на этом отрезке 
суммируемую с квадратом производную . П усть ср (0) £
М
. 
Р азлож им функцию ср(0) в ряд Ф урье
4 -со
< р (0 )= S
anein\
 
(1 )
п
= —ОО
Н етрудн о видеть, что ряд
2
1а «1 
w
- СО
сходи тся и, следовательно, ряд (
1
) сход и тся абсолю тно и 
равномерно. Действительно, для 
п ф
0 имеем
те
а* = к
$ 'р О и) е " , '““ (/и)=
— те
=
-
2
^
М
т ? ]
1
, +
я : j » ' ( • ) * - “
< ( • = £ •
(3 )
где
те
есть «-й коэффициент Фурье производной
S 1*-|’ 
(4)
п = —
со
сход и тся в силу неравенства Б ессел я; из неравенства
i « » i =
вы тек ает, что ряд (
2
) сходится.
Н а множестве 
М
зададим линейный оп ератор Р , к о т о ­
рый д ей ствует следующим образом : если функция <р £
М

---

разлагается в ряд (
1
), то
(Р?) ('У= t
2
- 1
£
(5 )
Л — I 
/| «а —. |
О п ер ато р
Р
назы вается 
оператором Гильберта.
Е сл и функция (р(0) вещ ественная, то функция (А р ) (0) 
так ж е вещ ественна. Действительно, в этом случае 
а_„ =
следовательн о,
—
1а_пе~ш
=
ianeinb.
Л е м м а 1 9 .2 .1 . 
Если
<р ^
М, то и Р<р^М.
С остави м ряд
i j t
« У
710
— г- 
2
апеш,
(
6
)
Л “ I 
Л « = — 1
где коэффициенты 
ап
определены соотношением (3 ). В силу 
сходи м ости ряда (4 ) последний ряд сходится в метрике 
Z.9 ( — те, « ) и сумма его, которую мы обозначим через а (0 ), 
суммируема с квадратом на о тр езк е [— те, те]. И нтегрируя 
ряд (
6
) почленно, мы восстановим ряд ( 5 ) с точн остью до 
постоянной.
Т ак и м образом ,
в
(Рср) (
6
) = ^ а 
(ш)
—
С, 
С
= const,
о
и функция (А р ) (0) оказы вается абсолю тно непрерывной, при­
чем е е производная 
(А р ) (
0
) = а (
0
) квадратично суммируема.
Н акон ец, функция (Р<р)(0) 2те-периодична — эт о следует из 
то го , ч то члены ряда (5 ) 2те-периодичны.
Л е м м а 1 9 .2 .2 . 
Справедлива формула
П
(p i?)
( б) = —
?
(S) + ^ § 
?
(“>)йГш. 
(7)
— ТС
Е сл и
ср 
М,
то, 
к ак
тол ьк о 
что 
бы ло 
показано, 
P
^
М
и к
P f
м ож но применить ещ е р аз оператор 
Р.
П о

---

ф орм уле (5 )
0 0
— СО
( р * < р ) ( в ) = —
2
a«ein9
—
S
а «е<л0=
я =
1
л=о— 
1
и
= = _ ( р ( 0 ) 4 - а о = — 9 ( 9 ) 4 - 1 J cp(«)rf<0.
— It
П у ст ь теперь F (z ) = U ( x t, jc2) - ) - 1 V ( x v x t) — функция, 
голоморф ная в круге | z
| < 0
и непрерывная в замкнутом 
круге | z  | < ; к Допустим, что значение этой функции на 
ок р у ж н ости | z I =
1
есть элемент множества М
F (e iS) C . M
 
(
8
)
и что F (
0
) есть величина вещественная
Im Z7 (0 ) = V (0 , 0 ) = 0. 
( 9 )
Из включения (
8
) следует, что ряд Тейлора функции F (z) 
сходи тся абсолю тн о и равномерно в замкнутом кр уге | z | ^
1
. 
Д ействительно, пусть
/ * ( * ) = £ ; A nz \  
(Ю )
и =■ О
Коэффициенты А* вычисляются по известной ф орм уле ( Г р —
ок р у ж н ость |г| = р < ^
1
)
ГР 
*
При 0 
р 
1 подынтегральная функция непрерывна по 
совокуп н ости переменных р и ш. М ож но п оэтом у, полож ив 
р - > 1, перейти к пределу под знаком интеграла. Мы получим 
тогда
1C
д „ =
1
J F ^ e - ^ d * .
— 1C
П овтор и в рассуждения начала параграфа, убедимся, ч то ряд
0 0
2
| А . | сходится и, следовательно, ряд (
10
) сходи тся а б с о -
п
= 0
лютно 
и 
равномерно при | z 
|
^ 1.

---

Заметим, что коэффициент Л
0
вещественный. 
Обозначим 
F ( e
) = <р (
6
) -{ - fy (
0
), так что
<Р (9) = U (Jft. дгя) 1Ж_ Л
у
(в) = V ( х и х г) |в - в л.
О чевидно, <р £ М  и 
£ М ; при этом
, 
_______ 
+00
9 (fl) = | [ /
7
(e“ ) + f ( e ' ,) ] = ^
а*е Ш ’
( П )
Я = — 00
где
\ Х
- А
2 Лп>
« > о,
ап —
A
q
,
II
О
(12)
- А
2
Я < 0 ,
и
X ( fl) =
( * " ) - ? £ * ) ] =
0 0
— ОО
= - t
Е a * * '"0 +
1
2
апеш
= - (Р<р) (0). 
(1 3 )
П
=1
П = — I
Формула (1 3 ) описы вает весьма важное св ой ств о опера­
тор а Гильберта, к о т о р о е мы сформулируем в виде следую ­
щей теоремы.
Т е о р е м а 19.2.1. П уст ь гармоническая в круге | z  | 
1 
функция 
U (xi,
jf s) принимает 
на окружности z — e'9,
— « s ^ 0 s = £ ic , значение, со (в), 
где
<р £ М . 
П уст ь, 
далее,
V ( x v
лг4) — та из сопряженных с U (jc1( x t) гармониче­
с к и х функций, которая обращается в нуль при г —
0
. 
Тогда
V ( x u
лгя) | * - « и = — (Я«р)(в> 
(1 4 )
Как следствие из тол ьк о что сформулированной теоремы 
вы текаю т следую щ ие два свойства оператора Гильберта.
1. Если функция ср £ М , т о функция
< р ( 0 ) - /( Р с р ) ( 0 )
(1 5 )
представляет со б о й значение на единичной окр уж н ости z = eia 
н ек отор ой функции f + (z), голоморф ной в к р уге | ,г| < ^
1
.П р и

---

этом, если функция ср(9) вещественна, т о величина / + (0 ) 
также вещественна.
Д ей ств и
1
ельно, если ер (9) представима рядом (1), то
ОО
«Р (6) - / ( Р ? ) (8) = а 0 + 2 2
апеш .
/
1=1
Сумма эт о г о ряда е сть значение при 
z — el9 функции
/ + (z ) = a0 - f 2 J
anzn, 
(1 6 )
Л= 
1
голоморф ной в круге | г | < 1 . Если функция <р(0) вещ е­
ственна, т о число
1Z
/+ (О ) = а
0
=
2
^ § ? ( < “)<*“>
— Я
также вещ ественно.
2. При том же условии ср £
М  функция
< р (9 )-Н (Р < р )(0 ) 
(1 7 )
есть значение при 
г = ел голоморф ной в о внешности круга
I 
z I 
1 функции / _ (г ); при этом
f ~ (о о ) = / + (0). 
(1 8 )
Д ействительно, функция (1 7 ) разлагается в ряд
— ОО
ср (6) - f / (Р<р) (0) == а0 + 2 £
апеш .
Т
Х
 ==—
1
Сумма последнего ряда есть значение гол ом орф ной в области 
|Z|^>1 функции
СО
r W
= «o +
2
^
( 19>
п = I
на единичной окруж ности. При этом 
/ ~ ( о о )
= а0 = / + (0).
Отметим соотнош ения, вытекающие из приведенных выше 
формул:
«р (в) = 4 [ л ( * ) + / - ( * ) ] ,
( Р ТХ 0 ) = £ [ / + ( * ) - Г
( * ) ] ,
где 
z — eiS.

---

В ообщ е, в ... последую щ ем верхними значками -}- и —
б у д у т обозначаться 
функции, голоморф ны е 
со отв е тств е н н о
внутри или вне ок р у ж н ости |,г|—
1
.
З а м е ч а н и е 1. Множество М легко превратить в полное 
нормированное пространство: если функция <р £ АГ представима ря­
дом (
1
), то положим
г + ° °
U
1М1 = К 1 - Н 2 )
K I
*
L» = -
00
где а„ определено формулой (3)
Очевидно, в этом пространстве норма оператора Гильберта 
равна единице.
З а м е ч а н и е 2. Норма оператора Гильберта равна единице и 
в пространстве Ц  (— я, я), на котором этот оператор определяется 
теми же формулами (I) и (5). Можно доказать, что оператор Гиль­
берта ограничен также в пространстве Lp (— я, я), если 1 < р < оо.
З а м е ч а н и е 3. 
Можно представить оператор Гильберта 
в виде так называемого сингулярного интеграла
(Р<р) ( 0 ) =
1 .
^ ? («>) c t g
do> =
— К
f
® —• 
1
t 
\
5
? ( “ ) c t g ^ ^ d < e > .
(
21
) 
' 
—* 
e + « 
)
Формула (21) делает ясной связь оператора Гильберта с теорией 
сингулярных интегральных уравнений,
играющих важную роль 
в современной теории уравнений в частных производных. Подроб­
ное изложение теории сингулярных интегральных уравнений можно 
найти в книгах [14] и [12].
§ 3. Уравнения с оператором Гильберта 
Рассмотрим уравнение
а ( в ) Т (0) + * (0 )(Р < р )(0 )= = * (0 ). 
(1 )
З д есь о (0 ) , 6 (0 ), 
g(B) — данные функции, ср (в) — искомая ф унк­
ция класса М\ т о м у же классу принадлежит и функция g-(0). 
П редполагается далее, что 
а (В) и b (6) — 2л-периодические 
функции, непрерывные и непрерывно дифференцируемые.

---

Уравнение (1 ) *) будем решать в предположении, что к оэф ­
фициенты а (