|
1 “ »<» « = - • .
На окруж н ости направление v совпадает с направлением
радиуса, проведенного в точку S. И з рис. 35 ясно, что (мы
обозначили угол (v, г) = [3)
r = 2R
sin
2
R
cos p.
О тсю да
x
=
лг,
C1)
Поменяв местами
x
и S, получим
^ - l n - = - ~
;
ЛГ, 5 ^ r .
(
2
)
Ядра уравнений (D ) и (Л/) о к а
зались вырожденными, и эти урав
нения реш аю тся элементарно. Мы разберем здесь уравнения
внутренних задач; решить интегральные уравнения внешних
задач мы предоставляем читателю.
Обозначим через S и м углы, которы е радиусы -векторц
Ох
и
01
об р азую т с осью
x t.
Т огд а
d
Г
— Rdw.
Д ал ее функ
цию точки лг ^ Г можно рассматривать как функцию от 0.
С о о т ве т ст ве н н о с этим будем писать о (
0
) вместо о (
х
) и т. п.
Уравнение внутренней задачи Д ирихле принимает вид
К
0 ( 9 ) ^
$
а (ш )rfo) =
_ - 1
<р(
0
).
(3 )
— Я
те
П олож и м
^
o(w)dw = c.
Тогд а
— 1C
° ( 0 ) +
с
= - 4
ф
(0).
Интегрируя, получаем
— г.
Теп ер ь о (
8
) = — ^ <р (
6
) —
с
и
« ( * ) = —
j
[ r ? ( “ ) + c ] s l " r ‘, er =
Г
г
Т о ч к а
х
теперь лежит внутри круга; по формуле ( 1 3 .6 )
имеем
1C
и(х) = — §
§ ( p H ^ l n b r f a ) —
2кс =
— «
= - 4 Л [ « s ' 4 - * ] »
м * *
— л
Д алее
A in L = _
1
[(£, — jr .) cos (v, &0
4
- (5, —
Xt)
cos (v,
6
,) ] =
1
„6
U
,
л
4
►
, _____
/?2 - ( £ , ^ . + £
3
a:2)
=
----
-f»Q
[(&1---- О * ------------------ - ^ b i ] ----
r*R
Имея в виду, что
г® = (?! —
X if
( ^ — лг
9)2
=
- f - р* —
2
(SjATj - } - Ss-Xa)»
PS = JClH -Jfi>
получаем
и, следовательн о,
« (-у)= ^ § т и
R р"~ dw-
^
— ТС
Мы приш ли к интегралу П уассона для круга.
Уравнение задачи
Nj
для круга имеет вид
1C
И-(б) — S J 5 |1(«}Л » = 1.ф (в).
(5 )
— 7С
*
П олагая ^ ^ ц (ш)
du>
=
имеем
— «
И нтегрирование эт о го равенства приводит к у ж е известному
нам необходимому условию
Ж
I
(6)
— «
постоянная
С\
остается произвольной. Если у сл о в и е (
6
) вы
полнено, то решение уравнения (
5
) имеет вид
реш ение задачи
Ni
дается формулой
1C
g
“
0*0
= ^ ^ ф(«>)
^ l n — rfco.
— *
- *
Н етрудно д оказать, что второй интеграл есть постоянная, и
мы приходим к формуле Дини
1C
и(х) = ~
^ ф (ш)
1
л
~ dw
-{- С,
С =
c o n s t.
§ 1. П о с т а н о в к а за д а ч и
К раевы е задачи, рассмотренные в предш ествующ ей главе,
обладали «фредгольмовскими» свойствами: либо эти задачи
допускали одно и только одно решение (задачи
Di
и
D#
задача
Ne
при
т
> 2 ) , либо наруш алась теорема единствен
ности, и однородная задача имела линейно независимые р е
шения — тогда число таких решений о к азы валось конечным,
а неоднородная задача была разреш има тогд а и тол ьк о тогда,
когда заданная краевая функция удовлетворяла таком у ж е
числу условий ортогональности (задача
N(,
задача
Ne
при
т
= 2). В настоящей главе будет рассм отрен а новая краевая
задача, которая в общем случае не является ф редгольмов-
ской, — эт о задача о косой (иногда пишут «наклонной») про
изводной.
В /w-мерном евклидовом п р остр ан стве
Ет
рассмотрим
область 2 . Д ля определенности допустим, что эта о б л асть
конечная и что е е граница Г е ст ь регулярная п овер хн ость.
Рассмотрим некоторую о к р естн о сть поверхности Г . С к а ж
дой точкой
х'
этой окрестности свяж ем н екоторое направ
ление Х = Х(лг'); будем считать, что X (х О есть непрерывная
функция о т
х'.
Поставим задачу: в области 2 найти реш ение
эллиптического уравнения
при краевом условии
(
2
)
Задача (
1
) — (
2
) и называется
задачей о косой произ
водной.
Е сли на поверхн ости Г направляющие косинусы cos (X, ;cft)
пропорциональны величинам
гд е v — нормаль к Г , то задача о косой производной пере
ходи т в задачу Неймана.
Задачу о косой производной будем реш ать в следующ их,
весьм а частных, предположениях: область
2
е сть круг
двумерной п лоскости (в дальнейшем будем писать просто
« п л о ск о ст ь»), а уравнение (
1
) есть однородное уравнение
Лапласа
если 5 (Sj, ?2) — точка на окружности Г кр уга (3 ), т о будем
так ж е писать
Очевидно, rf£r = tfu>,
dxT = dB.
К раевое у сл ови е (
2
) н есколько преобразуем: обозначим
co s (X, jc j) =
а
(
0
), co s (X,
x t) = Ь(в)
и вм есто ф ( х ) будем пи
сать д ела отбр асы ваем )
и по предполож ению
21
г-периодичны и непрерывны. Мы при
мем, что эти функции непрерывно дифференцируемы по
0
.
Ajk
cos (v,
xj),
(3 )
(4 )
Будем п ользоваться обозначениями
*
1
-И л г
2
= .г = ре'9,
Z = J / —
1
;
— С =
еы.
(5 )
Функции а (б) и
Ь(
0
) связаны равенством
а * (
0
)
4
- £ * (
0 ) = 1
(
6
)
Do'stlaringiz bilan baham: |
