И здан и е второе, стереотипное

9
— полярные координаты точки х и р 
^>R-

---

Продифференцируем формулу (
8
) по декартовы м коорди­
натам точки 
х.
Э т о прощ е всего проделать так . Положим 
г = Х !
ixt,
C =
где 
х и х 2
и Ej, ^ — декартовы
координаты точек х и ?. Тогда 
г
= ре''6, С =
R eia
и (со. S I 
гл. 13)
_________ р! 
__________ р е 
2
-ЬС
Р8 —
2/?р 
c o s (ы — 6) - j -
д
г
—
С 
*
О тсю да
д 
Р ' - У
____________
д
р г + С
р‘ — 2/?р co s 
(ы
— 6) - f
—
d x t 
7 ^ 1 —
- р ? А * + С —
о с 
%
д г г
— С 
(г — С)* *
Т епер ь
2
тс
d X i ~ ~ ^ R
^ и № ’ 
(z — С)а du)~ °  (уЗГр-) •
Аналогично найдем, что и 
=
О
• П оследние оценки 
верны при достаточн о больш и х (jc|.
Напишем теперь ф ормулу (2 .7 ) гл. 
12
для области 2 '^
ограниченной кривыми Г и 5
й,
где 
R^>R:
вд есь 
п
— внешняя нормаль к Г , соответственно к 
S-g
в точ­
к е
х;
перед первым интегралом поставлен знак минус, по­
том у что нормаль 
п
на Г — внутренняя для' области 2 ^ . 
П оследней ф ормуле м ож н о придать вид
(9 )
S5
И з полученных вы ш е оц ен ок следует, что при 
R
достаточн о 
больш ом на окр уж н ости
So
д
|
ди
j 
да

---

Но тогда
Я я -*«>
0
;
положив в формуле (9 ) 
R —> оо,
придем к соотношению (7 ).
Лемма доказана.
К ак и в общем случае, будем и скать решение задачи 
Д и ри хле в виде потенциала двойн ого слоя (2), а решение 
задачи Неймана — в виде потенциала п р остого слоя (1 ). Э то 
приведет нас к интегральным уравнениям
для задачи Неймана. Ядра этих уравнений имеют слабую о с о ­
бенность. В данном случае легко п оказать, что они ограни­
чены, если показатель Ляпунова х = 1, и непрерывны, если 
кривая Г имеет непрерывную кривизну. П о-преж нему уравне­
ния задач 
D,
и 
Ne,
а также задач 
De
и 
N,
образую т сопря­
женные пары. Н иже предполагаем, что кривизна кривой Г
непрерывна.
И сследован и е интегральных уравнений (
D
) и (
N)
проведем, 
опираясь на следующ ую лемму.
Л е м м а 1 8 .1 3 .2 . 
Если интегральное уравнение задачи Ne
разрешимо, а
ф (jc) 
удовлетворяет равенству
(7 ), 
то потен­
циал простого слоя
(1 ) 
решает задачу Ne.
П у ст ь уравнение (1 0 ) разреш имо. В зя в е го решение за 
п лотн ость потенциала (
1
), мы получим функцию, у д о в л етво ­
ряю щ ую краевом у условию задачи 
Ne
и гармоническую вне Г
всю д у , кроме, мож ет быть, бесконечно удаленной точки, где 
эта функция м ож ет оказаться неограниченной. О стается д о к а­
зать, ч т о если условие (7 ) выполнено, то потенциал ( 1 ) на 
бескон ечн ости ограничен. Обе части уравнения ( 1 0 ) умножим
Г
для задачи Дирихле и
(,0)
г

---

на 
dxT
и проинтегрируем по Г . Учитывая условие (7), получим