И здан и е второе, стереотипное

F 4 (6 ) 
jnFT d
 ^ 0 С * ) — с 0 
Vi
(•*)•
У о ( * ) = \

---

Е сл и
то 
Vi (x)==c1c0
— c0ci = 0. П о доказанному
вы ш е (i.
9
(jc ) = 0 . О тсю да
Таким образом, лю бое 
решение уравнения (3 ) только 
постоянным множителем отличается 
от (i
0
(jc), ч то и тре­
б о вал о сь доказать.
Рассмотрим теперь 
неоднородное уравнение задачи 
Ni
(уравнение (
8
.
8
)). В силу четвертой теоремы Ф редгольма это 
уравнен и е разрешимо тогд а и только тогда, к о гд а функ­
ция ф(лО ортогональна к о всем решениям сопряж енного одно­
р о дн о го уравнения (8 .7 ). Н о это последнее уравнение имеет 
т о л ь к о одно линейно независимое решение о
0
( л ; ) = 1 . Таким 
обр азом , для разреш имости уравнения (
8
.
8
) необходимо и д о­
статочн о, чтобы (ф, 
1
) =
0
или, в более подробной записи,
Е сли уравнение (
8
.
8
) имеет решение, то, очевидно, р аз­
реш има и задача 
N
Таким образом, условие (1 0 ) достаточно 
для того , чтобы задача 
Ni
была разрешима; с д ругой ст о ­
роны , если функция гг(лг) гармоническая внутри Г и имеет 
необходим ы е непрерывные производные, то
И так, условие разреш имости, которы е мы получили как 
достаточ н ое, является и необходимым.
Мы можем теперь сформулировать следующ ий результат. 
П у сть Г — регулярная поверхность и ф £ С ( Г ) . Условие 
(
10
) необходимо и д остаточ н о для того, чтобы внутренняя
N С *) = ] г М * ) -
(9)
(
10
)
г
Н о
следовательн о,
$ < К - * И * Г =
0
.
Г
задач а Неймана с краевы м условием ^ 1 = ф(лс) имела ре­
дп
|г

---

шение; это решение можно представить в виде потенциала 
простого слоя.
Нам о стал ось рассмотреть интегральное уравнение внеш ­
ней задачи Д ирихле (уравнение (8 .7 )).
Нетрудно записать необходимое и достаточное услови е 
его разреш имости
(<р, Ро) = $ ? ( * ) Р-о 
(х) dxT
= О. 
(
11
)
г
Если условие ( 1 1 ) выполнено, то интегральное уравнение (8 .7 ) 
разрешимо. В этом случае су щ ествует реш ение внешней зад а­
чи Дирихле, представимое в виде потенциала двойного слоя 
и, следовательно, убывающ ее на бескон ечн ости как | 
х
|1 -т .
Если условие ( 1 1 ) нарушено, то не сущ ествует решения 
уравнения (8 .7 ). Э то не означает, однако, что внешняя з а ­
дача Дирихле неразрешима; можно то л ьк о утверж дать, что 
эта задача не имеет такого решения, к о тор о е можно пред­
ставить в виде потенциала двойного слоя.