И здан и е второе, стереотипное

§ 1 1 . И с с л е д о в а н и е в т о р о й пары со п р я ж е н н ы х
у р а в н е н и й
Значение параметра
(от —
2
) | S i Г
вход ящ ее в интегральные уравнения задач Ц , и 
Ni
(уравне­
ния (8 .7 ) и (
8
.
8
)), — характери стическое для каж дого из ядер
а 
1
а 
1
дч гт~3' 
дп гт~2
•
Д ей стви тельн о, третье равенство (4 .2 ) показывает, что од­
н ородн ое интегральное уравнение задачи 
De
°< W +
& = %
15 . , S 
( 9 s p k
dtT =
О 
,2 )
г
имеет нетривиальное решение ( * o ( j t ) = l , а это означает, что 
число (
1
) — характери стическое для я д р а ^ р ^ . Н а основа­
нии третьей теоремы Ф редгольма это ж е число — характери­
ст и ч еск о е и для сопряженного ядра ^
ут-* •
В таком случае 
од н ор од н о е интегральное уравнение задачи
14 w + < s = W f J
н
 (!) 
к
р
™
' V
= 1
а
 
(3>
имеет по крайней мере одно нетривиальное решение; обо­
значим е г о через (х
0
(х ).
Д о к а ж е м , что уравнения (
2
) и (3 ) не имеют нетривиаль­
ных решений, линейно независимых с указанными вы ш е ре­
шениями а„(лг) и jx
0
(лг). В силу третьей теоремы Ф редгольма

---

достаточно показать, что этим свой ством обладает уравнение 
(3 ). С остави м потенциал простого слоя с плотностью цо(5)
M ^ p U ^ r .
(4 )
И з уравнения (3 ) следует, что
Т ак к а к V
o
.(
jc
) — гармоническая функция в области 2 , л е ж а ­
щей внутри Г , то по теореме единственности задачи
У о ( . х 0 =
с О =
C O n S t , 
л г £ 2 .
( 6 )
При этом 
с0у£О.
В самом деле, если с
0
= 0, то 1/о (-*0 = О> 
л; £ 2 . В силу непрерывности потенциала п р о сто го слоя 
Vq (лг) = 0 , 
х
£ Г ; по теореме единственности внешней задачи 
Д ирихле К0 (-^) = 0, 
х
£ 2 '. Н о тогда
g % M = o .
( 7 )
апе
И з соотношений (
6
) и (7 ) и из формулы (7 .1 1 ) вы текает, 
что (
10
( х ) =
0
, а это противоречит тому, что реш ение ЦоС*) 
нетривиальное.
П опутно 
мы доказали 
сл едую щ ее утверж дение: 
если 
внутри Г потенциал простого слоя тож дественн о равен ну­
лю, т о его плотность такж е тож дествен н о равна нулю.
Д опустим теперь, что уравнение (3 ) имеет ещ е одн о р е­
шение |xi (jc). Построим потенциал
У » ( * ) = ^ М * ) - р
1
= г Л .
П овторяя 
предш ествующ ие 
рассуждения, д ок аж ем , что 
если 
х
^ 2 , то потенциал 
Vi
(jc) 
= сх =
co n st. П олож и м
^ W
= %
W
- V i ( 4
( 8 )
О чевидно, (а
8
(лг) есть решение то го ж е уравнения (3 ). П о ­
строим потенциал