|
_
(от - 2 )
.
f a г т -г
—
r m - i
LOS V ’
В данном случае нормаль v, внешняя к полупр остран ству
Ет ^ >
0
, направлена против оси £т ; если о б е точки
х
и 5 л е
ж ат на плоскости £т =
0
, то на той ж е п л оскости леж ит и
вектор г. Но тогда cos (г , v) = 0 и ядро уравнения (
8
.
6
) есть
тождественны й нуль. Т аково ж е и сопряж енн ое с ним ядро
в уравнении (
8
.
8
). Теперь эти уравнения ср азу даю т
о (л г )= = —
( т — 2)\
S , |
I
х ( ■ * ) = ( » , — 2) | S, |
Реш ение задачи Дирихле для п олупр остран ства
х т^>0
дается формулой
+ 0 0
+ 0 0
“ W
= < « -
2)|S ,1
$ •••
S
<3 >
— 0 0 /
— 0 0
а решение задачи Неймана — формулой
+ 0 0
4 - 0 0
“ М
= („ Д | 5 | 1 J
f « О
t
U Д . .
t 4)
—00
—
со
формулы (3 ) и (4 ) пригодны, если на бесконечности
( р ( £ ) =
0
(р~р),
<}» (S) = О
р = const ^ >
0
.
Выполнив дифференцирование в формуле (3), мы приве
д ем ее к виду
4-00
4-00
и(х) —
j-— j ^ . . . ^ (р ( 5 )
d%i
. . .
( 3 t)
—00
—00
т—\
г » =
2
(£* — лг*)
2
4 - ^ .
к
=1
§ 10. И сследование первой пары сопряженных
уравнений
Д альнейш ее исследование интегральных уравнений теории
потенциала мы п роведем в предположении, что поверхность Г
замкнутая и регулярная. Заметим, что регулярная поверхн ость
обязательн о ляпуновская, причем показатель а =
1
(докаж и те!).
В настоящ ем параграфе мы докаж ем , что интегральные
уравнения (
8
.
6
) и (8 .9 ), соответствую щ ие внутренней задаче
Д и ри хле
Di
и внешней задаче Неймана
Ne,
разрешимы, и
притом единственным образом, при лю бы х непрерывных функ
циях <р(х) и ф
(х).
С этой целью рассмотрим однородное ин
тегральное уравнение внешней задачи Неймана; неизвестную
в этом уравнении обозначим через цо
(-*0
1
*о (-*■) — (OT_ 2) | S i || N
jm=*
=
0
.
(
1
)
П усть (а
0
£
1 2
( Г ) — какое-нибудь решение эт о го уравне
ния. Как бы ло д ок азан о в §
8
, функция
непрерывна на Г .
П остр ои м потенциал п р остого слоя с плотностью |х
0
Vo
(.
х
) = | N (£)
~
dkT.
(
2
)
Потенциал ( 2 ) имеет правильную нормальную производ
ную извне Г , а уравнение (1 ) означает, что эта нормальная
производная равна нулю
П о теореме единственности для внешней задачи Неймана
Ve (je) = 0,
x £ Q \
(4 )
Но потенциал простого слоя — функция, непрерывная во всем
пространстве, поэтому
V^o (jc) =
0
,
х ^ Г .
(б )
Рассмотрим теперь потенциал V
0
( x ) в области 2 , распо
ложенной внутри Г . В этой области функция КоС*) гармо
нична и, как показы вает соотнош ение (5 ), обращ ается в нуль
на границе области. П о теореме единственности для внутрен
ней задачи Дирихле
1
/с ( * ) =
0
,
* £
2
.
(
6
)
Но тогда в 2 и
дУ0 (х)
а
дп-i
^
С о п оставл яя это с формулой (3 ) и во сп ол ьзовавш и сь фор
мулой (7 .1 1 ), найдем, что jj
.0
( - * 0 = 0.
И так, однородное интегральное уравнение ( 1 ) имеет только
тривиальное решение. В силу альтернативы Ф редгольм а (§ 5
гл.
8
), интегральное уравнение внешней задачи Неймана (ур ав
нение (
8
.
9
)) разрешимо, и притом единственным образом, для
любой функции (J) £
L%
( Г ) и, тем более, для любой непре
рывной функции ф
(х).
Таким образом, значение параметра
\______ ?_____
— (w —
2
) t S , |
— правильное для ядра g~ г т~» > по тео р ем е 3 Ф редгольма
оно правильное и для сопряженного ядра
rJ-T
•
О тсю да
с л е д у е т , что интегральное уравнение внутренней задачи Д и
ри хле разреш имо (и притом единственным о б р азо м ) для лю
бой функции tp ^ Z
.2
(Г ) и, тем более, для любой непреры в
ной функции <р (jc).
Е сл и интегральные уравнения задач
Dt
и
Ne
разреш имы,
то разрешимы и сами задачи. Э то приводит нас к следующ им
утверждениям:
1.
Если Г — регулярная повер хн ость, то внутренняя з а
дача Д ирихле для этой поверхности разреш и м а при лю бы х
1 3 *
непреры вны х граничных данных, и решение
можно пред
ставить в виде потенциала двойного слоя.
2.
Е сл и Г — регулярная поверхн ость, то внешняя задача
Неймана для этой поверхности разрешима при лю бы х непре
ры вны х граничных данных, и решение можно представить в
виде потенциала простого слоя.
Do'stlaringiz bilan baham: |
