И здан и е второе, стереотипное



Download 13,51 Mb.
Pdf ko'rish
bet185/298
Sana08.07.2022
Hajmi13,51 Mb.
#758730
TuriУчебник
1   ...   181   182   183   184   185   186   187   188   ...   298
Bog'liq
с. г. Михлин Мат.физ

_
(от - 2 )
.
f a г т -г

r m - i
LOS V ’
В данном случае нормаль v, внешняя к полупр остран ству 
Ет ^ >
0
, направлена против оси £т ; если о б е точки 
х
и 5 л е ­
ж ат на плоскости £т =
0
, то на той ж е п л оскости леж ит и 
вектор г. Но тогда cos (г , v) = 0 и ядро уравнения (
8
.
6
) есть 
тождественны й нуль. Т аково ж е и сопряж енн ое с ним ядро 
в уравнении (
8
.
8
). Теперь эти уравнения ср азу даю т
о (л г )= = —
( т — 2)\
S , |
I
х ( ■ * ) = ( » , — 2) | S, |
Реш ение задачи Дирихле для п олупр остран ства 
х т^>0
дается формулой
+ 0 0
+ 0 0
“ W
= < « -
2)|S ,1
$ ••• 

<3 >
— 0 0 / 
— 0 0
а решение задачи Неймана — формулой
+ 0 0
4 - 0 0
“ М
= („ Д | 5 | 1 J
f « О
t
U Д . .
t 4)
—00
— 
со


формулы (3 ) и (4 ) пригодны, если на бесконечности 
( р ( £ ) =
0
(р~р), 
<}» (S) = О 
р = const ^ >
0
.
Выполнив дифференцирование в формуле (3), мы приве­
д ем ее к виду
4-00 
4-00
и(х) —
j-— j ^ . . . ^ (р ( 5 )
d%i
. . .
( 3 t)
—00
—00 
т—\
г » =
2
(£* — лг*)
2
4 - ^ .
к
=1
§ 10. И сследование первой пары сопряженных
уравнений
Д альнейш ее исследование интегральных уравнений теории 
потенциала мы п роведем в предположении, что поверхность Г
замкнутая и регулярная. Заметим, что регулярная поверхн ость 
обязательн о ляпуновская, причем показатель а =
1
(докаж и те!).
В настоящ ем параграфе мы докаж ем , что интегральные 
уравнения (
8
.
6
) и (8 .9 ), соответствую щ ие внутренней задаче 
Д и ри хле 
Di
и внешней задаче Неймана 
Ne,
разрешимы, и 
притом единственным образом, при лю бы х непрерывных функ­
циях <р(х) и ф 
(х).
С этой целью рассмотрим однородное ин­
тегральное уравнение внешней задачи Неймана; неизвестную 
в этом уравнении обозначим через цо
(-*0
1
*о (-*■) — (OT_ 2) | S i || N
jm=*
=
0

(
1
)
П усть (а
0
£
1 2
( Г ) — какое-нибудь решение эт о го уравне­
ния. Как бы ло д ок азан о в § 
8
, функция 
непрерывна на Г . 
П остр ои м потенциал п р остого слоя с плотностью |х
0
Vo
(.
х
) = | N (£) 
~
 dkT.
(
2
)
Потенциал ( 2 ) имеет правильную нормальную производ­
ную извне Г , а уравнение (1 ) означает, что эта нормальная 
производная равна нулю


П о теореме единственности для внешней задачи Неймана
Ve (je) = 0, 
x £ Q \
(4 )
Но потенциал простого слоя — функция, непрерывная во всем 
пространстве, поэтому
V^o (jc) =
0

х ^ Г .
(б )
Рассмотрим теперь потенциал V
0
( x ) в области 2 , распо­
ложенной внутри Г . В этой области функция КоС*) гармо­
нична и, как показы вает соотнош ение (5 ), обращ ается в нуль 
на границе области. П о теореме единственности для внутрен­
ней задачи Дирихле
1
/с ( * ) =
0

* £
2

(
6
)
Но тогда в 2 и
дУ0 (х)
а
дп-i
^
С о п оставл яя это с формулой (3 ) и во сп ол ьзовавш и сь фор­
мулой (7 .1 1 ), найдем, что jj
.0
( - * 0 = 0.
И так, однородное интегральное уравнение ( 1 ) имеет только 
тривиальное решение. В силу альтернативы Ф редгольм а (§ 5 
гл. 
8
), интегральное уравнение внешней задачи Неймана (ур ав­
нение (
8
.
9
)) разрешимо, и притом единственным образом, для 
любой функции (J) £
L%
( Г ) и, тем более, для любой непре­
рывной функции ф 
(х).
Таким образом, значение параметра
\______ ?_____
— (w —
2
) t S , |
— правильное для ядра g~ г т~» > по тео р ем е 3 Ф редгольма
оно правильное и для сопряженного ядра 
rJ-T
• 
О тсю да
с л е д у е т , что интегральное уравнение внутренней задачи Д и ­
ри хле разреш имо (и притом единственным о б р азо м ) для лю­
бой функции tp ^ Z
.2
(Г ) и, тем более, для любой непреры в­
ной функции <р (jc).
Е сл и интегральные уравнения задач 
Dt
и 
Ne
разреш имы, 
то разрешимы и сами задачи. Э то приводит нас к следующ им 
утверждениям:
1. 
Если Г — регулярная повер хн ость, то внутренняя з а ­
дача Д ирихле для этой поверхности разреш и м а при лю бы х 
1 3 *


непреры вны х граничных данных, и решение 
можно пред­
ставить в виде потенциала двойного слоя.
2. 
Е сл и Г — регулярная поверхн ость, то внешняя задача 
Неймана для этой поверхности разрешима при лю бы х непре­
ры вны х граничных данных, и решение можно представить в 
виде потенциала простого слоя.
Download 13,51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   181   182   183   184   185   186   187   188   ...   298




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish