И здан и е второе, стереотипное

§ 12. Решение внешней задачи Дирихле
Поместим начало координат внутри поверхн ости Г . Ф унк- 
ция 
-j"
гармонична 
в любой области, не содержащ ей на­
чала координат. В частности, эта функция гармонична в £2'. 
Реш ение задачи 
De
будем искать в виде
+
° (* К Г - 
0 )
Какова бы ни была непрерывная функция о(£), правая часть 
формулы (
1
) гармонична в £
2
'} остается подобрать о (5) так, 
чтобы выполнялось краевое услови е (
8
.
1
).
П овторив рассуждения § 
8
, получим интегральное у р ав­
нение для неизвестной функции о(лг)
0 
(ш — 2)1 S ,| ^ [<Ь г5^ " Ь 1 л: 
\т
~ г
]
“
= (m —"iJfS j | 
(2)
Ядро уравнения (2 )
д
1 
, 
1 
дч гт~‘
' I л: 1т - * '

---

так ж е как и ядро ^ ~ т
- 2
> имеет 
слабую особенность, и
к названному уравнению можно применить теорию Фред- 
гольма.
Рассмотрим однородное интегральное уравнение, получа­
ющееся из уравнения (
2
) при <р(лг) =
0
°о (•*) +
_
2
) | S j | ^ [ ^ 7
гт-г
| дг jm-a ] °о 
0
) 
=
0
. 
(3 )
П усть 
°0
£
Lt
( Г ) — какое-либо решение уравнения (3). Как 
и в § 
8
, м ож но д ок азать, что это решение непрерывно. П о­
строим функцию
«о (х ) = J °о (’ ) ^7 
| °о 0 )
(4)
гармоническую в 
2
'.
И з уравнения (3 ) следует, что H
0
( jc ) jr = 0; по теореме 
единственности для внешней задачи Дирихле и
0
(лг) =
0
, 
х
£
2
'. 
Имея это в виду, умножим выражение (
4
) на |дг|т ' а и поло­
жим I 
х
| —>■ оо . На бесконечности потенциал двойного слоя 
убы вает как 
jc j * 
т,
поэтому в пределе первое слагаемое 
исчезнет и мы получим
$ ° о (
6
К
г = 0. 
(5 )
Г
Итак, лю бое реш ение уравнения ( 3 ) уд овлетворяет со о т ­
ношению (5 ). Н о тогда уравнение (3 ) упрощ ается и прини­
мает вид