И здан и е второе, стереотипное

§ 13. С л у ч а й д в у х н е з а в и с и м ы х п ерем ен н ы х
В случае 
т — 2
сингулярньш решением уравнения Л ап­
ласа является функция In 
-р
- , г =
5
В соответстви и
с этим потенциалы п р остого и двойного слоя на двумерной 
п лоскости определяются формулами
V(x) =
j ( x ( 5 ) ! n
(
1
)
( 2 )
Г
кривая, о которой мы предположим, что она замкнутая 
ляпуновская. Н еравен ство (
2
.
6
) заменяется таким:
S
д .
1
з - In —
0 V 
Г
й{Г
С — const. 
(3 )
П л отн ости о (5) и ц (?) будем считать непрерывными.
Потенциалы (
1
) и (
2
) принято называть 
логарифмиче­
скими.
Логарифмический потенциал двойного слоя гармони­
чен к ак внутри, так и вн е Г ; на бесконечности он имеет 
оц ен ку 
0
(| лг | *). Логарифмический потенциал п р о сто го слоя 
гармоничен внутри Г ; вне Г он (в отличие от случая 
т
2), 
во общ е говоря, негармоничен: функция, гармоническая в б е с ­
конечной 
области 
на двумерной плоскости, д ол ж н а бы ть 
ограниченной на бесконечности, а потенциал п р о сто го слоя 
в общ ем случае растет на бесконечности как 
1
п !лг|.
Д л я потенциалов (
1
) и (2 ) справедливы тео р ем ы , ана­
логичные (н о не всегда тож дественн ы е) теоремам, д о к азан ­
ным для случая 
т^>
2
: потенциал п ростого слоя н епреры вен 
на всей плоскости , кроме, м ож ет быть, бескон ечн о удален ­
ной точки; имеют м есто предельны е соотношения для потен­
циала д вой н ого слоя
^< ( * ) = = — ™ ( * ) + Г (л г), 
Г Д * ) = тег ( * ) - { - иГ(дг)

---

и для нормальной производной потенциала простого слоя
дщ 
On
( 5)
- 1 Я Г “
~
) +
дп '
Эта нормальная производная— правильная.
И нтеграл Г ау сса вычисляется по формуле
— 2 л , 
х
внутри Г ,
Г
\
О, 
х
вне 
Г , 
( 6)
— щ 
х
£ Е *
Задачи Дирихле и Неймана ставятся как 
обы чно; мы 
сохраняем так ж е обозначения 

( х ) и ф (х ) для функций, 
заданных в эти х задачах. В аж н о отметить, что при 
т — 2
внешняя задача Неймана 
Ne
отли чается некоторыми о со б ен ­
ностями. Т еорем а единственности для задачи 
Ne
в данном 
случае формулируется так ж е, как и для задачи /V;: ива 
решения этой задачи могут отличаться то л ьк о на постоянное 
слагаемое. В ер но и обратное: д в е функции, гармонические 
вне Г и различающиеся то л ьк о постоянным слагаемым, ре­
шают одну и ту ж е задачу 
Nt.
Д р угая особенность задачи 
Ne
на двумерной п лоскости
определяется следующ ей леммой.
Л е м м а 1 8 .1 3 .1 . 
Для того чтобы при
w = 2 
задача
Ne имела решение, необходимо, чтобы
^  ( * )
dx
=
0
. 
( 7 )
г
Д опустим , что решение 
и(х)
задачи 
Ne
сущ еству ет. В о ­
круг начала координат опишем окр уж н ость 
S#
ст о л ь б о л ь ­
ш ого радиуса 
R,
чтобы кривая Г леж ала внутри 
Ф унк­
ция 
и
( jt ) гармонична 
вн е 
5 ^ и непрерывна 
в с о о т в е т с т в у ю щ е й
замкнутой области, поэтому справедлива ф ормула П уассо н а 
(ф ормула (1 .6 4) гл. 13)
1 Л ... 
Р8 - * *
. 
д-
u(R,
u>) 
d<*>;
(
8
)
2л
1
f
Р8 - ^
" W
- а
д
\ р » _ 2 Я р с о з ( < о - 6 ) +
здесь 
R, ш
— полярные координаты точки 5, 
u(R,
ш) = и ($ ), 
р,