И здан и е второе, стереотипное

°< М + 7 5 Г = 1 ш | ! к 7 ^ « . < ! К г = 0' 
(6)
что совп адает с уравнением (1 1 .2 ). Как бы ло д оказан о в § 
11
, 
уравнение (б ) имеет то л ьк о одно линейно независимое р е­
шение 
единицу, в таком случае его общ ее решение есть 
° о ( ') =
С =
co n st. П одстави в это в (б), получим С|Г| = 0 
или С = 0 . Т еп ер ь о
0
(£ )е ^ О и уравнение (3 ) имеет только 
тривиальное реш ение. В силу альтернативы Ф редгольма не­
однородное уравнение (
2
) разреш имо при любой непрерыв­
ной функции ср(х). В м ест е с тем для любой непрерывной 
граничной функции <р (
х
) разрешима и внешняя задача Д и ­
рихле; ее реш ение м ож ет быть представлено в форме (
1
).

---

З а м е ч а н и е 1. В се р езу л ь та т ы § § 10— 12 мож но р асп р о стр а­
ни ть н а прои звольн ы е з а м к н у т ы е л я п ун о вс ки е п о верхн о сти , есл и
п о тр е б о в а т ь , чтобы дан н ы е ф ункции <р(лг) и 
уд о вл етво р ял и
условию Липшица с показателем
X (е го н азы ваю т т а к ж е
усло­
вием Гельдера)
г д е
А
и X — п о ло ж и тел ьн ы е постоянны е.
З а м е ч а н и е 2. И сследо ван и е и н тегр ал ьн ы х уравн ен и й т ео ­
рии потенциала н еско л ько у с л о ж н я е т с я , к о гд а о б л асть 2 (или Q') 
о гр ан и ч ен а не одной, а н ескол ьки м и за м к н у т ы м и
ляп ун о вски м и
п о вер х н о стям и ; р езу л ь та т ы о казы ваю тс я н е ск о л ьк о ины ми, чем в с л у ­
ч ае одной граничной п оверхности. П одробно эти воп росы и зло ж е­
ны в кн и ге Н. М . Гю нтера [4].
З а м е ч а н и е 3. М ето д потенциалов м ож н о п р и м ен ять и к не­
ко то р ы м д р уги м к р а е в ы м за д а ч а м . П уст ь , н ап р и м ер , т р е б у е т с я найти 
ф ункцию
и
(л:), гар м он и ч ескую либо вн у т р и , либо вн е зам кн уто й
р егу л я р н о й поверхности Г и уд о вл етво р яю щ ей к р а е в о м у условию
ви д а
г д е р 
(х)
и 
(лг) — ф ункции, н еп р ер ы вн ы е н а Г , и — вн еш н яя нор­
м ал ь к Г в то ч ке 
х
£ Г. Т ак о го р ода з а д а ч у н азы ваю т ч асто
тре­
тьей краевой задачей.
Б уд ем и с к а т ь е е р еш ен и е в ви д е п отен ц иала 
п р о с т о го слоя
= | 
(
6
) 
^ г - 
<8>
В о сп ол ьзо вавш и сь теорем ой о п р ед е л ьн ы х зн ач ен и ях н о р м ал ь­
ной производной потенциала (8 ), получим д л я ц (£) и н тегр ал ьн о е 
у р а в н е н и е со слабой особенностью
З н а к плюс с о о т в е тс т в у ет вн утрен н ей з а д а ч е , зн а к м и н ус 
вн еш н ей.
Е сли зад ач а (7) д л я гар м о н и ч еско й ф ункции и м еет не б о л ее 
о д н о го реш ен и я, то ур авн ен и е (9 ) р азр еш и м о при любой о (дг) и н а­
ш а з а д а ч а и м еет реш ен и е; если реш ен и е н еед и н ствен н о (и м ен н о, 
если о дн ор одн ая з а д а ч а (7 ) и м еет 
k
линейно н е за в и с и м ы х с о б с тв ен ­
н ы х ф ун кц и й ), то оно с у щ е с т в у е т т о гд а и т о л ь к о т о гд а , к о гд а у д о в л е т в о р я е т
k
усл о ви ям о р то гон ал ьн о сти . По п ервой т е о р е м е
Ф р е д г о л ь м а число 
k
конечно. В н утр ен н яя (в н е ш н я я ) з а д а ч а (7 ) д л я
гар м о н и ч ес к о й ф ункции и м еет еди н ствен н о е р еш ен и е, есл и р 
( х ) ^ 0
и р (лг) >» 0 на м н о ж естве п олож ительн ой м ер ы на Г (со о тв ет с тв ен н о
Р (лг) ssg 0 и р (л:) < 0 на м н о ж естве п о л о ж и тел ьн о й м ер ы на Г ). 
Д о к а ж и т е !
О)
2
“ (•*), 
(9)

---