И здан и е второе, стереотипное

§
8
. С в ед е н и е з а д а ч Д и р и х л е и Неймана 
к 
и н т е гр а л ь н ы м у р а в н е н и я м
Рассмотрим замкнутую ляпуновскую п овер хн ость, ограни­
чивающую д ве области: 
2
— внутреннюю и 
2
' — внешнюю. 
Поставим одновременно четыре краевы е задачи дл я однород­
ного уравнения Л апласа: найти функцию и ( х ) , гармониче­
скую в области 
2
или 
2
' и удовлетворяющ ую либо условию
задачи Д ирихле
Функции <р(х) и фС*7) будем считать непрерывными на Г .
Внутренню ю и внешнюю задачи Дирихле будем обозна­
чать через 
Di
и 
De,
а внутреннюю и внешнюю задачи Ней­
мана — через 
Ni
и 
Ne
соответственно. Задачи эти будем ре­
ш ать, оты скивая решение в виде н екоторого потенциала. 
Точнее, решение задачи Дирихле будем и скать в виде по­
тенциала двойного слоя
реш ение задачи Неймана — в виде потенциала п р о сто го слоя
потребуем при этом, чтобы искомые плотности о( Е) и ц (£) 
были непрерывны на Г .
При таком представлении решения мы автоматически по­
лучаем функции, гармонические в соответствую щ ей области, 
и нам остается позаботиться лишь о краевы х у сл ови ях. З а ­
метим, од н ако, что в случае задачи 
De
нас ож и даю т некото­
р ы е трудности: реш ение на бесконечности д о л ж н о иметь по­
р ядок 
0
(| 
х
|?' 
т),
а потенциал (3 ) убы вает б ы стр ее — он имеет 
порядок 
0
( [ х | , - т ) и, следовательно, не всякую гармониче­
ск у ю в 
2
' функцию м ож н о представить в виде (3 ).
Р ассм отри м , например, внутреннюю задач у Д и ри хле 
К раевое услови е (
1
) следует понимать так: е сл и
х
^ 2 и
и |г = <Р (х ),
(
1
)
либо условию задачи Неймана
ди
дп
г ~
= ф (х).
(
2
)
и ( х ) =
(
3
)
Г

---

х
-»• л „ £ г , то
lim 
и
( х ) = <р ( х 0). 
(5 )
х —х а
Н о и ( х ) есть потенциал двойн ого слоя, плотность к о т о ­
рого, по предположению, непрерывна. В таком случае по 
формуле ( 5 . р
П т и ( л г ) = —
~
- 
о
( х 0) +
\
а ( ’ ) <Ы £ —- 
|m"* 
d(T.
Х—Хо
Г 
5
П одставив эт о в формулу (5), заменив обозначение х
0
на 
х
и разделив на 
— -”1
~
t , получим интегральное ур ав­
нение для неизвестной функции а ( х )
(т — 
2)
|S,| | o (^ ^ r s r 5 ' rftr := =
= ~
(т
— 2) | S j | 
? 
Х € Г ‘
И спользуя формулы (5.1), ( 7 .6 ) для предельных значений, 
а так ж е краевы е условия (
1
) и (
2
), получим интегральные 
уравнения для трех остальных задач. Д ля удобства выпишем 
все четы ре интегральные уравнения вм есте:
(
Di
) о ( х ) —
j ^ 
0
(*)^
—
= ~ (т —
2) |S, | 
4
^
^
(
D
, )
о 
( х )
+ ( т
_ 2) | Sj | ^ 
^
d iT ~
= (от —
2
)| S , | * ^
^
(A/,) 
II ( х ) - f (/п — 2) 1 Sj 1 jj 
7m~-dtr
=
~ (га — 2) J S , | ^ ^
^
Щ )
ц (X ) —
im _ 2)
j s j | Iх ^
дп W 4 dl T ~

---

В уравнениях (
6
) — (9 ) 
х
£ Г .
Отметим следующ ие свой ства уравнений (
6
) — (9).
1. О ценка (1 .1 7 ), а такж е формулы (7 .2 ) и (7 .5 ) показы­
ваю т, что уравнения (
6
) — (9 ) суть интегральные уравнения 
со слабой особенностью .
2. Ядра
д
1 
д
1 
дч гт~3 ’ дп гт~а
получаю тся одно из д р у го го перестановкой аргументов. Т ак 
к а к эти ядра ещ е и вещ ественные, то они сопряженные (см.