И здан и е второе, стереотипное

= r W > + ^ ~ g ) | S t l o(jC8> 
r 0 = | S - * 0 |, 
(1 1 )
и формулы (
1
) сразу вы текаю т из соотнош ений (
10
) и (
11
). 
Т еорем а доказана.
И з формул (1 ) вы текает простое соотнош ение, связы ва­
ю щ ее плотность потенциала двойного слоя с е го предель­
ными значениями
W,
( * 0) —
К
(JC*) = — ( « — 2 ) 15 , | в 
(х0).
( 1 2 )
З а м е ч а н и е 1. Если плотность 
а
(£) на Г не н еп р ер ы вн а, а 
лиш ь с у м м и р у е м а , то, к а к о к а з ы в а е т с я , п р ед е л ьн ы е зн ач ен и я потен­
ц и ала д во й н о го сло я с )щ е с т в у ю т почти всю д у н а Г и в ы р а ж а ю т ся
по т ем ж е ф орм улам (1).
З а м е ч а н и е 2. Д л я нормальной 
п роизводной п отен ц иала 
д во й н ого сло я вер н а сл ед ую щ ая т ео р ем а Л я п у н о в а . П у с т ь Г — ля- 
п у н о в с к а я п о верхность и плотность а (£) на Г н еп р ер ы вн а. Если 
н о р м ал ь н ая прои зводн ая п о тен ц иала д во й н о го сл о я и м еет п р ед ел , 
к о гд а ж - > л : 0 ^ Г и знутри (и звн е), то с у щ е с т в у е т р авн ы й е м у п р е­
д е л той ж е производной и звн е (и зн утр и ).
Т е о р е м а 18.5.2. 
Если поверхность замкнутая ляпу-
новская, а плотность на этой поверхности непрерывна,
то потенциал двойного слоя равномерно стремится к
своим предельным значениям как изнутри, так и извне
поверхности.
Сохраним обозначения, использованны е при д о к а за те л ьст ве
теоремы 1 8 .5 .1 . П лотность о(Е) непрерывна, а потом у и р а в ­
номерно непрерывна на Г . В таком случае ради ус т] можно 
вы брать независимо от положения точки х
0
на поверхн ости Г . 
Д алее, потенциал 
W[ (х)
на самом деле есть функция д ву х
точек: точки 
х
£
Ет
и точки 
х 0
£ Г . Е сли ради ус 
rt
фикси­
рован, то на ограниченном замкнутом 
м н ож естве, опреде­
ляемом соотношениями
х 0
£ Г , 
| дг —
х
0 1 ^ у т),
упомянутая функция непрерывна и, сл едо вател ьн о , р авном ер­
но непрерывна, поэтому число 
8
, ф игурирую щ ее в нера­
венстве (
8
), можно вы брать зависящим то л ьк о о т е. Т о ж е

---

соотнош ение (
8
) показы вает тогда, что 
( х )
-х - х -
U/i (jc8) 
равномерно относительно л
:0
£ Г .
Наконец, потенциал 
W„(x)
постоянен как внутри, так 
и вне Г , поэтом у если 
х - + х в
либо изнутри, либо извне Г , 
то W
0
(jc ) стреми гея к своем у предельному значению равномерно.
Теп ер ь из формулы ( 2 ) видно, что тем ж е свойством 
обладает и потенциал и^(дг).