И здан и е второе, стереотипное

s' 
s'.
При е достаточно малом п овер хн ость 
S’,
близка к полу­
сфере, опирающ ейся на касательную п лоск ость (ри с. 3 3 ); 
величина | 
S’,
| отличается от площади поверхн ости полусф еры 
т
к*~
— — г на площ адь (взятую с тем или иным знаком ) п овер х- 
г ( ? )
ности п ояска £ , заключенного м еж ду Г и касательной пло­
скостью . В ы со т а этого пояска равна максимальному зн аче­
нию | ест | в точках пересечения п овер хн ости Г и сферы 5 ,. 
Так как e < ^ rf, то эти точки л еж ат внутри ляпуновской 
сферы и для них верна оценка ( 1 .1 6 4)
I -m I ^ Й,Г
*+1
=
а.г1''1.
О тсю да нетрудно усмотреть (п од р обн ости
вы вод а п р едо­
ставляем читателю), что площадь повер хн ости пояска имеет

---

порядок 
О
(ет-1+“). Т еп ер ь ясно, что
т
с _ < ^ z г 9' - *
dv 
гт~г
~
„
s.
и, следовательно,
т
Теорем а доказана полностью.
§ б. Предельные значения потенциала двойного слоя
На примере интеграла Гаусса ясно, что, вообщ е говоря, 
потенциал двойн ого сл оя терпит разры в, к о гд а точка 
х
пе­
р е сек а е т повер хн ость Г . Вм есте с тем, как мы сейчас увидим, 
при довольн о ш ироких условиях сущ ествую т пределы зна­
чений потенциала двойн ого слоя, когда точка 
х
стремится 
к произвольной точке jc
0
Г либо изнутри, либо извне Г . 
Б удем обозн ачать через №,• ( х 0) и 
We
(д:0) соответствен н о пре­
дельн ы е значения потенциала двойного слоя Щ х ) в точке 
• * * € Г , когда jc —> .г
0
изнутри, соо тветствен н о извне Г . Пря- 
м ое значение эт о го потенциала в точке 
х 0
обозначим через
Г е о р е м а 1 8 .5 .1 . 
Пусть
Г —
ляпунОвская поверхность
и
а (?) —
плотность, непрерывная на
Г . 
Тогда для потен­
циала двойного слоя
(3 .1 ) 
справедливы следующие предель­
ные соотношения'.
1У , (
jc
0) =
—
1> I
1
Щ х 0) ,
(
1
)
в ( * о ) 4 -
Щх»),
Формулу ( 3 .1 ) перепишем так:

---