И здан и е второе, стереотипное

§ 51 
П Р Е Д Е Л Ь Н Ы Е ЗНАЧЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА Д ВО Й Н О ГО СЛОЯ 
3 7 1 
Зд есь И7
0
— интеграл Гаусса, а
w i (■*) = J [° (?) —
0
( * . ) ] ^
(3 )
г
U7
i
(
jc
) есть потенциал двойного слоя, плотность к отор о го, 
о (5 ) —
o
(
jc
0). обращ ается в нуль при 5 =
jc
0. Д окаж ем , что 
этот потенциал непрерывен в точке дг0-
Из точки j t
0
как из центра опишем сферу н екоторого 
радиуса 
%
тем самым поверхность Г р азобьется на д ве ча­
сти: Г = Г ' 
Г " , из которы х Г 'л е ж и т внутри сферы, а Г " —
вне ее. Соответственно потенциал 
W i(jc ) тож е распадется 
на два:
Г
1
( х ) = Г
1
' ( х ) + Г
1
’ (х ),
где
(х)
== jj [о (?) —
а (х0)} £ -р^г de
Г ,
Г'
WI (х)
=
5
fe (« ) — о (* „ )] £ ^
dtT.
r .r
Напишем очевидное неравенство
|r,(jf) —
и^<*)1 + 1
u^(*o)l +
+ | 
w ; (x)
-
Щ (x0)
]; 
(4 )
черта свер ху означает прямое значение соо тветству ю щ его
потенциала.
Оценим правую часть неравенства (4). Вы берем 
ц
так , 
чтобы при |Е — -Kol’C 7! выполнялось н еравенство
| о (;) — о ( х 0) | < ^ - ,
где е — произвольно заданное п олож ительн ое число, а 
С
—
постоянная; входящ ая в неравенство (2 .6 ). Т акой вы бор у 
возм ож ен, потому что плотность о (5) непрерывна. Т о гд а при 
любом х £ £ т имеем
I « а д ! * : J
1
» й - « М | [ ^ т з ! =
1
| ' ' Г <
Г' 
г

---

3 7 2
МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ Д Л Я УРА ВН ЕН И Я ЛАПЛАСА 
(Гл. 18 
В частности,
l W t a j | < y .
(
6
)
Зафиксируем радиус rj и будем считать, что точка 
х
д о ст а­
точно близка к *
0
, именно, что 
\х
—
х й
| s S -g- 
щ.
Тогд а на 
повер хн ости Г "
r = J5 — * | = г | £ — Jf0 | —
\х —
JT0 | ^ 7| —
—
подынтегральная функция в интеграле 
(лг) непрерывна 
и сам интеграл непрерывен. В этом случае сущ ествует т а к о е 
число 
8
0
, что при | 
х
— х
0 1
8
необходимо
I 
Щ
( * ) - W 7 (jf0)| = | W T(JC)—
W
f ( x o ) \
(7 )
И з соотнош ений (4 ) — (7 ) следует, что
I 
Щ
( х ) —
Wt
(дг0) I < е» если | 
х
—
х„
| <
8
, 
(
8
)
т. е. что потенциал ^ ( л г ) непрерывен в точке Хо- Если эт о . 
так, то в указанной точке совпадаю т предельные значения 
потенциала V ^ (
jc
) и его прямое значение
Wu
(* „ ) =
Wu (х0) = Щ х й
(9 )
Формула (4 .2 ) показы вает, что предельные значения инте­
грала Г ау сса 
W9{x)
сущ ествую т и равны соответственно
W w t*o ) = — ( « — 2)|S,|, 
UP* (■*•) = ft
а прямое значение
Т еп ер ь из формул ( 2 ) и (9 ) следует, что предельные зна­
чения М7,(лг0) и 
We
(лг0) сущ ествую т, причем
W, (х0) = Wt (х0)
о 
(х0) W„ (х0)
=
=
— ( « —
2
) | S i | a ( jr 0> 
(Ю ) 
W
, (* „ ) = В
Д
+ в (jc ,)
Wae
(лг0) =
В
Д

---

Д алее
W fcj)
= § [о (
6
) - о ( * 0)] 
J p * * еГ =
Г