|
2
| i
4
[
" ‘ *
В силу неравенств (
1
) и (2 ) & < ^ 1, и последний ряд — зн ак о
переменный, с монотонно убывающими членами; если в этом
ряде сохранить конечное число членов, то остаток имеет
знак первого отброш ен н ого члена. О тсю да
c o s (v , Sm) ^ l — у .
(
5
)
Д ал ее по н еравенству (
1
)
c o s (v ,
(
6
)
П о н еравенству (2 ) a V 2* s g a V " <
1
, и
cos (v, £m) ^ ~ .
(
7
)
О бе оценки (
6
) и (7 ) понадобятся в дальнейшем.
Если п овер хн ость задана уравнением
F
(Sj, $
9
, . . . , Sffl) = О,
то направляющие косинусы нормали к этой поверхности оп
ределяю тся формулой
dF
co s (v, 5») = d b ---------
Y i m
Уравнение повер хн ости Г ( х ) имеет вид
/ (£
1
>
. . . ,
= О,
кроме того, cos (v, Sm)
0
. Отсюда следует, что
У.
cos ( ч ,
6
* ) =
.............— ....А =
1 , 2
.......................................
....
—
1
, (
8
)
У
1 + | ( 1 ) '
и
c o s (v, ?m) = —
— .
(
9
)
/
т —
1
'
'
У
"
Ш
П о неравенствам (
6
) и (2 )
/
т
— I
д*г5®
—
=
1
+
- А
----------<
H i
1
— - i - e V »
1
— i - a V *
2
2
i - e ’ r 2®
< 1 4 ------ =1--------- < l + a V .
В о зве д я это в квадрат, получим
6
=
1
Н о
r ^ d ;
в силу неравенства (2 )
2 ' Ш
’ < з л ”
(10)
и, следовательно,
- ^ | < / З а г а,
6
=
1 , 2
..........
т —
1
.
(
11
)
Теп ер ь из формулы (
8
) вы текает оценка
1 cos
(V,
* * ) к | | £ | < К З о г “,
6 = 1 , 2 ,
т - 1 .
(1 2 )
Оценим величину |Ет | на участке Г ' (jc) поверхности I .
Обозначим
т —\
р
4
= Е ^ -
Очевидно,
г * =
р * - И 3т .
( 1 3 )
В формуле ( 1 1 )
может означать лю бое направление
в касательной плоскости к Г и, в частности, направление р.
П оэтом у
d/| < / З а г * < / З а ^ ^ К э .
Э ту оц ен ку можно сущ ественно улучшить. И з формул
( 1 3 ) и ( 1 4 ) следует, что
Н иже будем обозначать буквой
г
как расстояние между
точками
х
и
%,
так и направленный от
х
к 5 вектор. В ы в е
дем оц ен ку для cos (v, г ) в предположении, что
х
^ Г и
' t г ' (■*)• В местной системе координат
COS (V ,
г ) —
COS ( Г , J f fc) COS (v ,
х к) = ^
^
-
COS (v ,
x k ) =
О тсю да
о
р
и, следовательно,
I
^т
I ’'С
1
/ З р .
(1 4 )
Г а ё
2
р.
(1 5 )
О тсю да
f
| <
2
“) / З а р “
Тепер ь
(160
Н о р
г, и окончательно
I
I <
«1
гл*'.
(1 6 *)
т
П о неравенствам ( 1 2 ) и (1 6 ), приняв во внимание, что
~~ —
j co s ( г ,
x
k) | ^
1
и | cos (v, л*т ) ^
1
, найдем
I cos (v, г ) , с Cf“,
гд е
с —
j / З
(т
—
1
) а
4
~ a t = con st.
Р ассм отри м
кусочно гладкую
поверхность £ , вообщ е
говор я, незамкнутую, на которой определено положительное
направление нормали.
О бозначим через £ произвольную точку поверхности
£
и ч ер ез v — нормаль к V , проведенную в точке
I.
П усть
точка
х
£
Ет
расположена так, что
в любой точке S G Е ради ус-век
тор г, идущий от точки
х
к точке 5,
об р азу ет с нормалью м острый или
в крайнем случае прямой угол, так
что c o s (г , v) S i 0. Из точки
х
про
ведем радиусы -векторы к о всем точ
кам поверхности
У,.
Эти радиусы-
векторы заполняют область, ограни
ченную поверхностью V] и кониче
ской поверхн остью
К,
которую о б
разую т радиусы-векторы, оканчиваю
щиеся в точк ах края поверхности £
(рис. 3 0 ). Заметим, что если £ —
замкнутая поверхность, то точка
х
долж на находиться внутри £ ( в про
тивном случае угол
(г,
v) мож ег бы ть и тупым), и упомянутая
о бл асть совпадает с внутренностью £!• ^ з точки
х
как из
центра опишем сферу произвольного радиуса
R.
Обозначим
через
часть этой сферы, заключенную в упомянутом вы ш е
кон усе. Отношение
=
0
)
не зави си т от
R.
Оно назы вается
телесным углом, под
которым поверхность
2
!!
видна из точки х.
О писанное только что построение можно выполнить и т о г
да, к о гд а на поверхности V] co s (г, v ) ^ 0 . В этом случае
телесны м углом «>.*(£)> под которы м повер хн ость ^ вид
на из точки
х,
называется отнош ение (
1
), взято е со знаком
минус.
В общ ем случае, когда cos ( г , v) мож ет менять знак, будем
предполагать, что поверхность
2
можно разбить на части
H i-
на каждой из котор ы х co s (г , v) сохр ан яет знак.
Д ля такой поверхности телесный угол определяется формулой
“> * ( £ ) = ! > , ( £ * ) >
(
2
)
если тол ьк о р яд (
2
) абсолю тно сходится (например, если
частей
2
]* конечное число).
Д окаж ем , что во в се х перечисленных случаях телесный
угол u ^ Q ] ) определяется формулой
(
2
j) —
т
— 2
1
rm~a dt
(3 )
Д остаточн о рассм отр еть случай, когда cos (г, v) сохраняет
знак на поверхности
Вы ведем предварительно одну вспомогательную формулу,
которая окаж ется полезной и в дальнейшем. Имеем
д
1
т — 2 д г
.
г
„
^
г т-я
r m-i ^
c o s ( v> **)•
Н о
дг
£ *—
х к
,
г „
Щ = —
7 “
= « * ( ' . Е*)-
О тсю да
д
1
т
— 2
дч г т~а
г т~1
С 0 ®
^o s
или окончательно
д
1
т
— 2
.
^
rm-a
rm~i
COS
(Г ,
v).
(4 )
П у сть cos (г , v) ^ 0. Радиус
R
возьмем достаточн о малым,
так
чтобы поверхности о„ и ^ н£ имели
общ их
точек
(ри с. 30).
Рассмотрим область
D,
ограниченную поверхностями 2 »
и заключенной м еж ду ними частью кон уса
К-
В этой
области —
есть гармоническая функция точки £, поэтому
(ф ормула (6 .9 ) гл. 1 0 )
J <Ь*
Гт~*
^ £ ^ 4 " ^
(h* f-m-a
d^K— 0
. .
*
Ч ер ез v* зд есь обозначена нормаль к поверхности, внешняя
по отношению к области Д так как cos (r, v
) ^ 0
на
то
на этой поверхн ости v * = v.
На поверхности
К
cos (г, v *) = 0, так как г направлено
по образую щ ей, a v* к ней перпендикулярно. В силу фор
мулы (
4
) интеграл по
К
исчезает, и
S
-R
На ол нормаль v* направлена против радиуса,
поэтому
д
1
д
1
_ J
__
т — 2
~дч*~ rm~“
dr rm~*
Iг= -л
Rm~l
Теперь
Do'stlaringiz bilan baham: |
