И здан и е второе, стереотипное

- 2 > ^
=
= — (От —
2
) ш , (
2
>
что и требовалось доказать.
Если cos (г , v ) ^ 0 , то v* = — v на £ ; рассуж дая по-преж­
нему, получим в этом случае
S i r
dEs = V ^ j ^ ==(w — 2 )^ r :=
* *
= - ( / я -
2
) « М
2
>
Если поверхность £ разбита на части £ i> £ s, . . . , на к аж * 
дой из которы х cos (г, v) сохр ан яет зн ак, то, очевидно,
2 1
ш.*С £ л )
1
= § 
~д7 г'*-*
^
В
Т е о р е м а 18.2.1. 
Если
Г —
конечная ляпуновская по­
верхность, то существует такая постоянная С, что
\
U
" p 4 ‘y * : G
V * e e . .
<6 )
г
П усть 
d —
радиус ляпуновской сферы для поверхности Г.  
М о ж ет случиться, что расстояние о т точки 
х
до п овер хн о­
сти Г не меньше, чем -ту-. Т о гд а
г==\х
по фор 
м у л е (4 )
I 
д
1 
g i I со
Mr, 
ч) I 
2т~1 (т
2)
"37
Т7" - *" 
= \ т ~~г >
' r « - i
d"*'1

---

П усть теперь расстояни е от точки 
х
до поверхности Г меньше;
Хт
чем 
~ .
С ущ ествует 
точка 
х 0
£ г
такая, что
I ^ — ЛГ
0
| : : m i n | x — E j < - S - .
(
8
)
? 6 Г 
*
Как известно, точка 
х
лежит на нор­
мали 
п0
к Г, проведенной через точ­
ку 
х 0.
Построим 
ляпуновскую
сферу 
Рис. 31. 
5 ( х 0). Обозначим соответствен н о че-
Рез 
Г ' ( х 0) и 
r " ( j c 0) 
части поверх­
ности Г , леж ащ ие внутри и вне сферы 5 (д :Л (рис. 31). 
Если Е 
Г " (д-0), то | 5 — дг0 1 
^ d
и
|Е —
\х —
*
0
| > 4 .
О тсю да
[
1-^------ L _
н V
2_т ~‘ 
— 2) | Г" 
(х„)
|
J
I *
rm
V
'
dm=i
--------------<
<
^
-
г ) | Г | . С Т
О стается р ассм о тр еть интеграл 
д
1
Г'(*о)
dv г
"»-1
d er = ( « _
2
) J
Г' Uo)
П остроим местную си стем у координат с началом в т о ч к е лг0; 
о сь
направим по нормали к Г в 
х 0.
П олож им Ijc —
х л\
=
8
,
8
<С 
f ■
М естн ы е координаты точки х суть (
0
, 
0
, . . . ,
0
, 
±
8
).
Обозначим через 
0 ( х й)
проекцию 
поверхности F ( a t 0) на

---

касательную плоскость в точке х 0. Т о гд а 
(* 
1 cos (г , у | , г __
f | c o s (r , у ) | ^ !
^
\ 
rm-^ 
I
3 
Гт~'
СО* 
5/п) 
~
Г ’ fro) 
O' (ха)
< 2
jj 
л , . . .
( Ю )
О' Uo)
мы здесь воспользовали сь оценкой (1 .7 ).
Положим Ps = t ; 4 - ^ - ] - . . . + S V b Р есть расстояние от 
точки х а до проекции точки 
I
на касательную плоскость 
в точке дг0. Из формулы
т 
т —\
Г2 -
£ ( 5 * - * * ) * =
* т ) * = Р* + f t » ± V
*=1
*=1
вы текает, что г ^ р. С другой стороны, обл асть O' ( х 0) опре­
д еляется неравенством г 
<^d.
Но г ^ р, поэтому и р 
d. 
Э то значит, что область 
G'
( х 0) лежит в (
т
—
1
)-мерном ш аре 
p ^ f l f , и из формулы (
10
) получаем
С 
С i J S l f e i L Й А . . . « Ы .
( И )
г- i . ,
'
 
, < j .
Если 
8
= 0 (г. е. x = jc0 £
r )> то 
п0
неравенству (1 .1 7 )
| c o s (r , v ) | ^
с 
^
с
 
n 2 -j
p P I
-
г т -
1
-л
 
~ рГп-
1
-а > 
v 
'
и, следовательно,
^ 
'Яг~ = c ° n s t. 
( 1 3 )
г- (*0) 
р <<*
Попутно мы доказали, что интеграл (
6
) су щ еству ет при 
любом 
х
Г .
П усть теперь 8 ] > 0 . Имеем
|cos (г, v) | = |cos (г, Sft) co s (v, 
6
ft) | 
У 3 ( « —
1
) e r “ +
З д е с ь r # = |S —
jc
#|; мы во сп ол ьзовал и сь оценками (1 .1 2 ),

---

3 6 4
М ЕТО Д П ОТЕНЦИАЛОВ Д Л Я УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 
[Гл. 18 
(1 .1 6 ) и (1 .1 7 ). Теперь
р 
< а
+
2
а , $ £ о,+ Ч
^ - ^ _ ,
+ 2 8
С ^
?<*
р
<а
Оценим величины г
0
и г через р. Величина г
0
оценивается 
по формуле (1 .1 5 ), так как в последней г есть расстояние 
от точки S д о начала местной системы координат. Таким 
образом, г
0
^
2
р. Чтобы оценить г, поступим так. Имеем
'•9
= Ps + ^ +
8
* ±
2
Sm
8
.
Д алее | 2 *m8m | ^ ±
8
* + 2SJ,. О тсю да
П о формуле ( 1 .1 6 а)
И т | < а
1
р“ +‘ ^ а ^ р .
Р адиус 
d
м ож но взять ск ол ь угодно малым. П усть он таков, 
что
у г
Тогд а
j ( p
9
+
8
*).
Т еп ер ь нетрудно оценить интегралы в ( 14) справа. П ер­
вы е дьа оцениваю тся совсем просто
J
r m~l
^ 3 
^ - r i --------- <
^
(Ps + 8«) 
2
< г -
т
| »
ф
, = М 11
P 
< d
аналогично

---

Перейдем 
к 
оценке 
последн его интеграла. 
И спользуя 
оц ен ку для 
г,
находим
g ^ 
•• • 
d%m
- 1 
2
2 g ^ 
• •. ^Sm-i
P < d
P < rf 
(ра _ j _ в*) 2
2**"
8
^ 
dtjdtz
• •• ^Sm-i .
£ m-. 
(Pa + 5SH
E
m
— евклидово пространство 
m
— 1 измерений. В послед­
нем интеграле положим
т
— 
1
S/t —
6 = 1, 2, . . . > от 
1, 
'fjft — Pi*
л = i
Т огд а
g ^ d jtd^ ••• ^Sm-i __ ^ 
йу\^-г\г ... di
]m_i
£ m-i (p*-)-»*)1 "
£ m-i 
(p?-h 1) 2
Последний интеграл сходится и равен некоторой постоянной.
Теперь ясно, что при 0 < ^ 8 < ^ у интеграл ( 1 4 ) не пре­
восходит некоторой постоянной. Н о эт о утверж дение верно 
и при 
8
= 0 (формула (1 3 )). В таком случае су щ еству ет 
такая постоянная С', что
С l C
0
S lQ J ! l l .
d^V^C',
0
^
8
< - | .
г-
Приняв во внимание неравенство (9 ), видим, что теорем а 
18.2.1 верна и при 
8
<^-|--, при этом м ож но полож ить
c==2- . (;- 2 ) |r| + 
c ,.
§ 3. Потенциал двойного слоя и его прямое значение
В § 5 гл. 11 был определен потенциал двойн ого слоя как 
интеграл вида
а д = $ ^ ) * г т ^ г ,
и )

---

где v — внешняя нормаль к поверхности Г в точ к е 5. Было 
доказано, что 
1
Г ( х ) — функция, гармоническая к ак внутри, 
так и вне Г ; на самой поверхности Г потенциал ( 1 ) не был 
определен.
Будем считать теперь, что Г — замкнутая ляпуновская 
повер хн ость и что плотн ость о (?) непрерывна на этой поверх­
ности. При таких услови ях справедлива следую щ ая теорема.
Т е о р е м а 18.3.1. 
Потенциал двойного слоя
(
1
) 
цмеет
вполне определенное значение при любом х, лежащем на
поверхности
Г . 
Это значение непрерывно меняется, когда
х пробегает поверхность
Г .
Т о , что интеграл (
1
) сущ ествует, если 
х
£ Г , доказы вается 
просто. П лотн ость о (S) непрерывна на замкнутом компактном 
м н ож естве Г и потому ограничена. П усть | о (?) | sg: 
At =
const. 
Т о гд а
В предыдущем параграфе было доказано, что интеграл
(2 .6 ) су щ ествует при 
х
Г , иначе говоря, что при 
х
£ Г
функция | £ _ Ц суммируема на Г . Н о тогда суммируема
на Г и левая часть неравенства (2 ) и, следовательно, для 
указанны х 
х
интеграл (
1
) сущ ествует.
Д окаж ем теперь, что при 
х £
Г интеграл (1 ) непрерывен. 
О ценка ( 1. 17) показы вает, что потенциал (
1
) есть интеграль­
ный оператор со слабой особенностью над функцией о(Е); 
ядро это го оператора
О бозначая числитель через 
А
( х , £), видим, что при 
х
функция 
А(х,
Е) непрерывна на Г . Если 
х
£ Г и 
х -*■ %,
то 
в си лу неравенства ( 1 . 1 7 )
А(х,
Е ) - > 0 . Положим 
А
(лс, .*■)■= О, 
тогд а 
А(х,
S) непреры вна на Г при любом положении то­
чек 
х
и Е. П о теор ем е 7 .4 .1 интегральный оператор (
1
) пе-
| «(«)
д
1 
dv 
гт~г
< A f
д
1 
di гт~*
(
2
)
д
1
(т
— 2) cos (г , у)
гп~*
представим в виде
а
1 
__
(т
— 2) г
2 соз ( г , у)
дч г т~2
г

---

реводи т непрерывную функцию в непрерывную. Но о ($ ) по 
предположению непрерывна, а тогда и потенциал двойного 
сл о я непрерывно меняется, когда точка 
х
движ ется по по­
верхн ости Г . Теорем а доказана.
Значение потенциала двойного слоя при 
х £
Г называется 
прямым значением
это го потенциала. Т еорем у 18.3.1 можно, 
очевидно, сформулировать так:
Если
Г —
замкнутая ляпуновская поверхность и плот­
ность
о (S) 
непрерывна на
Г , 
то прямое значение потен­
циала двойного слоя
(1 ) 
непрерывно на
Г .