И здан и е второе, стереотипное

часть поверхности Г , р ас­
положенную внутри упомянутой сф еры. Рассуж дения пред­
ш ествую щ его параграфа показываю т, ч го достаточн о установить 
такой факт: при достаточно малом -rj сп равед ли во неравенство
§ ^ 
7 ^ * + * r 's=F] ^ 'Г
г'
где е ■
произвольно заданное полож ительное число. 
д
I 
т
—2
£* —
хъ
Имеем
дп гт~
д
1 
дч гт~
г"
т - -2ik — xk
co s (л, Е*), 
co s (v, Et ).
В ведем местную систему координат с центром в точке 
Х&
В этой системе 
х к =
0, cos (л, 
6
*) = 0 при 1 
k
^
т
— 1 
и co s (л, Em) = l . Но тогда 
д
1
, 
д
1
дп г”
т
— 
1
[1 - cos 
(V, 
Em)] 
-
^
2 У cos rm-i
Д ал ее по неравенствам (1 .1 2 ) и (1 .6 )
co s(v , Е*)| = 
cos (v, 
im):
/ 3
ara0
1
, 
2
, 
, 
m
—
1
,
1
A T
IE — r » !
x 0 |. Из последнего н еравенства следует, что

---

Теперь легко видеть, что 
д
1
, 
д
1
дп rm
s ' dv 
rm~‘
'4м=Г
• 
cl 
=
COnst- 
( 8 )
: f-m
Положим p
9
= E* —j-
5S, _ i и обозначим через 
Q^
проекцию поверхности TJ, на касательную п лоскость в точ­
к е дг0. П о ф ормуле ( 1 .1 5 ) г
0
^
2
р. С другой стороны ,
т 
т
— 1
г * =
2 3 ( £ * - * * ) ■ = S
*=1
k=*
1
О тсю да г ^ р. Т еп ер ь из формулы (
8
) следует
2
%
| 
дп гт~*
' dv 
гт~‘
П усть | (л (Е )| ^ Ж . Тогда 
А
^ 2 V , M
{
— 2 V i
М
С
^ pm i-e 
1 
J pm-l-a cos (Vf
Г . 
о '
( 9 )
; 2
*+1
схМ
^ ^
d^ : i dy
i . 
°ч
В области OJ, верно неравенство р ^
г
s g т), поэтому Gj, 
целиком леж ит 
в 
ш аре р ^
т) и, 
следовательно,
Л < 2 « + ‘с,Л4 J
=
J * , ^ р - » « =
Р < Ч 
«
1
0
_ _ 2-+*в,Л4 I а , I
— 
а 
Ч •
зд е сь о, — единичная сфера в (/и —
1
)-мерном пространстве. 
О чевидно, д остаточн о взять
Ч < [ з .
2
«+‘ ff.Ai|«д | ] ‘
и мы получим, что
Л < ~ -
(
10
)
П овторяя рассуж дения § § 3 и б, мы на основании оцен­
ки (
10
) убедимся, что сумма 
W(x)
непрерывна при

---

п ер еход е точки 
х
через поверхность Г . Н о тогда для этой 
суммы предельные значения и прямое значение совпадаю т
щ {х0) = ^ ^ )
+
we {x
о ) =
+ Щ
4
О тсю да следуют искомые равенства
, 
dV(x0)
"1 
д Г
~ »
—
ipv
(л„) +
=
Вычитая равенства (
6
), получим формулу, связы ваю щ ую
плотн ость потенциала простого слоя с предельными значе­
ниями его нормальной производной
^ 0 L - ^ 0 L = { ' n - 2 ) \ S i \v(xo).
(
11
)
О стается доказать, что 
и 
су т ь правильные
нормальные производные. Имеем
-f - 
1
*
4
* ) ] -
Щ х).
(
12
)
П о доказанному выражение в квадратн ы х ск о б к ах непре­
ры вно и потому равномерно стремится к сво ем у предельному 
значению; на этот раз безразлично, стремится точка 
х
к точк е 
#0
£ Г изнутри или извне Г . Д алее, если 
х -*-х0
либо изнут­
ри, либо извне Г , то по теорем е 1 8 .6 .2 потенциал двойн ого 
слоя Щ л г) стремится к своему предельному значению равно­
мерно. В силу формулы (1 2 ) этим ж е сво й ством облад ает и
0
ПРеделению (§ 
ГЛ- ^ ) потенциал (
6
.
1
) имеет
правильную нормальную производную как изнутри, так и из­
вне Г .

---