И здан и е второе, стереотипное

+ I v" ( * ) I - Н
v "(y) — v "(x )
 I-
(3 )
m
— I
здесь 
— проекция поверхности Г ч на касательную п л о ­
ск о сть в точке 
х.

---

Возьм ем точку 
у
стол ь близкой к 
х,
чтобы 
— Jf | 
т). 
Т о гд а если 
то
Э т о значит, что область 
01
целиком лежит в (д а — 1)-мерном 
, 3
ш аре 
и, следовательно,
\V'(y)\^2M
J
(4 )
9<Т П
В
{trt
— 1)-мерном пространстве введем сферические коор­
динаты с центром в точке У Тогд а Л , . . .
dlm_t —
p
m~9
dp dav
где мы обозначили через 
с1
единичную сф еру в 
(пг
— ^ -м е р ­
ном пространстве, а через с?о, — элемент площади ее поверх­
ности. Формула (4 ) принимает вид
з
Т
1
| V '
0 0
| ^
2
Af 
J 
d°i 
\ 
dp = m \ a x\%
01
6
П усть е — произвольно заданное полож ительное число. 
В озьм ем
Т огд а 
если 
\у - х
| <
7
j —
, , то
I 
Г { у ) \ < ± .
П оследнее н еравенство, очевидно, верно и для 
у — х:
i v ' W K - i - .
Теперь н еравенство (3 ) дает
I 
V(y)
-
V(x)
K y e - f - |
V"(y)
-
V"(x)~\.
Вы берем число 8 ^ > 0 столь малым, чтобы
8
g--y
и чтобы при 
— j c |<Сs бы ло | V " (j/)—- 
V"
( j c ) j <
. Т о г- 
д а | 
V {y )
— V
4
- * ) I < C 6- Теорем а доказана.

---

§ 7. Н о р м а л ь н а я п р о и зв о д н а я п о т е н ц и а л а
п р о с т о г о с л о я
П о-преж н ем у будем рассматривать потенциал простого 
слоя (6 .1 ), предполагая Г замкнутой ляпуновской п овер х­
ностью.
П у сть 
х
— произвольная точка пространства 
Ет
и л —
внешняя нормаль к поверхности Г , проходящ ая через точку 
х.
Если 
х
^ Г , то можно вычислить производную потенциала 
(
6
.
1
) по направлению нормали я, п р осто дифференцируя под 
знаком интеграла
0>
г
В ы к л ад к а, аналогичная той, которая была проделана в § 2, 
приводит к формуле
d 
1
ttt
_ 
2
/ 
%
/о\
7 SFF =
-р ш = г-
co s (г , л ) . 
(2 )
О тсю да
дУ(х)
дп
= ( « _ 2 ) j j ^ ( 5 ) ^ f e ^ r f er .
( 3 )
П усть 
х
£ Г . Если плотность (i (Е) измерима и ограничена, 
| (а ($) | < :
М =
co n st, то интеграл ( 3 ) сход и тся. Д о каж ем это. 
Выделим часть Г '(д с ) поверхности Г , леж ащ ую внутри ля­
пуновской сферы 
S'(х).
Д остаточно д ок азать, что сходи тся 
интеграл
Г'
В вед я местны е координаты с началом в точке 
х,
приведем 
последний интеграл к виду
С /еч cos (г> я ) tfSi . . .
. 
/л \
) 
rm~l
cos 
(у,
€т ) ’
О’ М
здесь 
(У(х
) — проекция 
F ( j c ) на касательн ую п л оск ость 
в точке 
X.
Подынтегральная функция в ( 4 ) ограничена вели ­
чиной
- J J S
j
-I c o s ( r , л)|, 
р* = Ч + Ц + . - . + й - ь

---

Д ал ее
co s (г , 
п) =
cos (г, Em) = l s _ ;
по неравенствам ( 1 .1 6 ) и (1 .1 5 )
co s (я , г ) | s g
s g
2
’ ajp”,
(5 )
и для подынтегральной функции в (4 ) окончательно полу­
чаем оценку
которая п ок азы вает, что интеграл (3 ) сходится.
Как мы увидим н еск о льк о ниже, значение интеграла (3 ) 
при 
х
Г нельзя рассматривать как нормальную производ­
ную потенциала (
6
.
1
). Значение интеграла (3 ) при х
Г на­
зы вается 
прямым значением нормальной производной по-
О V (
V*)
тенциала простого слоя
и обозначается символом - 
^ ,
Будем обозн ачать через 
и 
' предельные зна­
чения (если они су щ еству ю т) нормальной производной 
,
к о гд а 
х
- >
х 0
^ Г изнутри, соответственно извне Г.
Т е о р е м а
1 8 .7 .1 . 
Если
Г —
замкнутая ляпуновская
поверхность, а плотность
[*(Е) 
непрерывна на
Г , 
то на
поверхности
Г
потенциал простого слоя
(6 .1 ) 
имеет пра­
вильную нормальную производную как изнутри, так и
извне
Г . 
Предельные значения нормальной производной по­
тенциала простого слоя выражаются формулами
2 
“Мя,
drii
дУ
(лг„) 
дпе
(
6
)
В ведем в рассм отрен и е потенциал двойного слоя с плот­
ностью

---

* 
и составим сумму
дч
Д окаж ем , что эта сумма меняется непрерывно, когда точка л: 
пересекает поверхность Г , двигаясь по нормали к ней.
П усть х 0 — точка на поверхности Г , л — нормаль к Г
в этой точке и х — произвольная точка на нормали 
п,
леж а­
щая внутри или вне Г . В окр у г точки лг„ опишем сферу р а­
диуса tj 
d
и обозначим через