И здан и е второе, стереотипное

§ 6 . Н епрерывность потенциала простого слоя
Т е о р е м а
1 8 .6 .1 . 
Если
Г —
замкнутая ляпуновская
поверхность, а плотность
[* (Е) 
измерима и ограничена, то
потенциал простого слоя
непрерывен во всем пространстве Ет.
Н епреры вн ость потенциала (
1
) при л г ^ Г очевидна, и 
остается р ассм о тр еть только случай 
х
 £ Г.
Д о к аж ем преж де всего, ч ю при 
х
 £ Г интеграл (
1
) сх о ­
дится и, следо вательн о , потенциал простого сл оя У ( х ) на 
повер хн ости Г определен. Построим ляпуновскую сф еру 
S(x),
и пусть Г '(л г ) — часть Г , заключенная внутри сферы Имеем
В о втором интеграле подынтегральная функция непре­
рывна, и д о статоч н о рассм отр еть первый интеграл. Введем 
местную си стем у координат (?„ 
. . . , ?„,) с центром в точке 
х
и с о сью
\т,
направленной по нормали к Г в этой точке. 
Положим
V ( x ) =
Sj
(
1
)
Г
V ( x ) =
 
jj (A( $ ) - 5L _ ^ r +
1j 
г .
Г ' (JC)
г 
\ Г ' 
U)

---

если | [j. (Е) | =sg 
М =
con st, то подынтегральная функция не 
превосходит величины
эта оценка показывает, что интеграл (
2
) сходится.
Д окаж ем теперь, что в любой точ к е 
х
£ Г потенциал ( 1 )
непрерывен. П усть 
у
— произвольная точка пространства 
Ет.
В окр уг точки 
х
опишем сферу радиуса 
n
обозначим 
через Г^, и 
части поверхности Г , заключенные со о т в е т ­
ственно внутри и вне сферы. И нтеграл (1 ) разобьем на два, 
взяты е по 
1
\, и FJJ; эти интег-
Оценим 
первое слагаемое 
в (3 ). 
Т а к
как 
tj
<[то
I\, С
2
Iv ( х ) , и на 
1
\, можно ввести местные координаты с на­
чалом в лт. Обозначим через 
у'
проекцию точки 
у
на п ло­
скость, касательную в 
х
(рис. 3 4 ). М естные координаты 
точки У пусть будут 
(y t, уг
...........
у
т _„ 0). Положим
р есть длина проекции отрезка, соединяю щ его точки £ и 
у,
на п лоск ость, касательную в
х.
Ясно, что р ^ 15 
— у
|. Д а ­
лее
2М
рт - з ;
ралы обозначим через 
V'
и 
V".
Т огд а, очевидно,
\ V (y )~
\ / ( * ) К 1 Г О / ) [ +