И здан и е второе, стереотипное

§ 4. И н тегр ал Г а у с с а
Так называется потенциал двойного слоя, плотность к о ­
то р о го тождественно равна единице:
З д е сь Г — замкнутая повер хн ость и v — внешняя к ней нор­
маль в точке Е. Для это го интеграла справедлива следую щ ая 
теорема.
Т е о р е м а 1 8 .4 .1 . 
Если поверхность
Г
замкнутая ля­
пуновская, то значения интеграла 1 аусса определяются
формулой
W0(x) =
О )
т
2(т
— 
2
) я 
2
0
для 
х
внутри Г , 
для 
х
в « е Г ,
т
С р азу ж е заметим, что первые д ва равен ства ( 2 ) верны 
для любой замкнутой кусочн о гладкой повер хн ости Г , — эт о
мы я будем доказы вать.

---

И так, пусть Г — кусочно гладкая замкнутая п овер хн ость 
и пусть точка 
х
лежит внутри Г . Опишем вокруг этой точки 
сф еру 5 , радиуса е; последний возьм ем
достаточно малым, так чтобы сф ера 
5
, 
леж ала внутри Г (рис. 32). В области , 
ограниченной поверхностями Г и 
S,,
функция " J - s- гармонична, поэтом у в
силу формулы (6 .9 ) гл. 10 
С д
1
j n I 
С 
д
1
j
fa гт 3
г
dv 
г'
Н а 5 , нормаль v направлена против радиуса. О тсю да 
Ц 
д
1
JO
( т —
2
dv 
r m~*
dS.
I
- 
dSe —
(m
•
2
) J A i
L) tm-x
--(m
2
) !£ ,[ , 
(4 )
и первое р авен ство (2 ) доказан о. Ещ е проще док азы вается 
второе^ равен ство (2 ): если точка 
х
лежит вне Г , то функ-
чия т
т=»
три Г и 
{* 
д
гармонична 
вну-
с1Т =
0.
dv 
гп
Займемся третьим равен ­
ство м (2 ). П усть Г — зам к ­
нутая ляпуновская п о вер х ­
н ость и 
х
^ Г . Речь идет о 
прямом значении интеграла 
Г а у с с а , 
сущ ествован и е к о ­
т о р о го вы тек ает из теорем ы предш ествую щ его параграфа. 
О ст а е т ся э т о значение вычислить, что мы сделаем сл едую ­
щим образом .
В о зьм ем число е, 0
и опишем во к р у г точки 
х
£5 Г сф еру 
S,
радиуса е. Часть поверхности Г , леж ащ ую
вн е сф еры , обозначим ч ер ез Г^, а часть сферы, лежащ ую
внутри Г , — через & (ри с. 33). Т а к как интеграл Г ау сса

---

сход и тся при 
х
£ Г , то
W o W = l i m 
(5)
Точка 
х
леж ит вне области, ограниченной поверхностями П
и 
в этой области фуикция —
гармонична и, сл ед о ва­
тельно,
^ 
dv г я = г ^еГ “
1
“
s.
Н о то гд а
(х
) =
-
т
J £ - j i r
(б )
s'.
В интеграле (
6
) нормаль v направлена против радиуса, по­
этому