И здан и е второе, стереотипное

§ 4. Ч и сл о реш ен и й и индекс за д а ч и
о к о с о й п р о и з в о д н о й на двум ерн ой п л о с к о с т и
Вернемся к задаче о косой производной, поставленной 
в §
найти функцию и (х ) = и (j:,, x t), гармоническую в круге 
z = = X i-^ -i x i,
и удовлетворяю щ ую краевом у условию
а ( е ) ё
Ц
е> '» + г'^ >
1
гг Ц
е- » = : ^ ( £|). 
^ 
(
1
)
a
9
(
6
) - f г>а(
6
) =
1
. 
'
(
2
)
Напомним, что a (
6
) = cos (\ x t% b (
6
) = co s (К x 3). Как 
и в §
1
, будем считать, что а (
6
) и b(Q) непреры вно диффе­
ренцируемы, а tj> 
М ;
множ ество М  определено в §
2
. Реш е­
ние будем искать такое, чтобы f  £ М , где
=
(3)
Если и = Re (w  (г )), где w (z ) — голоморфная функция, и 
■ a = F m (w (z)), т о
w ’ (z) = ^ 4 - i - — = = —
— 't —
дХх * 
дх, 
дх, 
д х а ‘
О тсю д а следует, что гармонические функции 
и — ^
сопряженные. П оэт о м у , если обозначить
* (e> = £ L -
' = Ц Ц .
«>
т о по теор ем е 19.2.1
Х ( 0) = (А р )(6 ) + /. 
(5 )
П одстави в выражения (3 ) и (5 ) в уравнение (
1
), приведем 
е г о к виду
а
(
0
) f (
0
) -|- b (
6
) (Р<р) (
0
) = у (
6
) — Lb (в). 
(
6
)

---

Вычислим индекс уравнения (
6
)
I
f .
в (
6
) — /
0
(
6
)
% ~ 2 ж )  
a r g в (0 ) + / 6 ( в )
— ТС
или, если воспользоваться соотнош ением (
2
),
К
 
1C
x = -i- t d a r g [a (
6
) —
(в)] = i ^ d arg e ~  
=
=
=
(7 ,
- K
через ((X, дг,)]г обозначено приращение угла (X, jr,) при о б ­
х о д е окруж ности Г в положительном направлении. Отметим, 
что индекс уравнения (
6
) четный.
Найдем число решений и индекс задачи (1 ) — (2). Нам 
придется рассм отреть несколько случаев.
1
. х = 0, Ъ ф ± 1 .  О днородн ое уравнение (
6
) имеет т ол ь к о 
тривиальное решение, а однородная задача (
1
) — (
2
) имеет 
два линейно независимых решения: од н о за счет величины I, 
Которая остается произвольной, д р у г о е за счет того, что 
решение и(лг) мож но изменить на произвол ьное слагаемое, 
не нарушая этим ни уравнение Лапласа, ни краевое условие (1). 
Э т о последнее решение нам придется учитывать и в п осл е­
дую щ и х случаях. Условия ор тогон ал ьн ости от су т ст в у ю т , и 
индекс задачи (
1
) — (
2
) в данном случае равен 
2
.
2. х = 0, 
8
= ± I. Есть од н о у сл ови е ор тогон а л ьн ости —
усл ови е (3 .1 6 ) — и од н о линейно независимое решение о д н о ­
р о д н о го уравнения (