И здан и е второе, стереотипное

§ 6. Теорема о дискретности спектра
Формулировке и доказательству основной теоремы насто­
ящего параграфа предпошлем следующее замечание.
Допустим, что мы построили первые п собственных 
чисел
Xj ^ Хд ^ ... ^ Хд
и соответствующие им ортонормированные в метрике про­
странства Н  собственные элементы оператора А
ll\y Mjj • • »»11ц.
Рассмотрим функционал *)
«Гя («)= > !«ft- 
u £ H f ,  
II и 
11
=
1
. 
(
1
)
Он отличен от функционала (5.1), так как он определен на 
более узком множестве. Обозначим
*л+1
= inf 
(и) = inf | и ft,
где и £ Н Ы  , || к || =
1
.
Построим для функционала (1) минимизирующую после­
довательность. Если из нее можно выделить подпоследова­
*) Определение подпространства 
было дано в § 4.

---

тельность, сходящуюся в метрике пространства Н, то Х
л+1 
есть (я —
j- 
1
)-е собственное число, а предел выделенной после­
довательности есть (п 
1)-й собственный элемент оператора А
Доказательство этого утверждения проводится без изме­
нений по сравнению с доказательством теоремы 6.5.1.
О п р е д е л е н и е . Будем говорить, что симметричный опе­
ратор А имеет дискретный спектр, если
1) оператор А имеет бесконечную последовательность 
Х„ X, 
Х„,... собственных чисел с единственной предель­
ной точкой на бесконечности;
2
) последовательность {и,,} собственных элементов полна 
в пространстве Н.
Существование единственной предельной точки на беско­
нечности означает, что собственные числа можно располо­
жить в порядке возрастания их абсолютных величин
| Xj | 
X* ' 
Х„ | ^ . . .
и при этом | X | -> оо. Если положительно определенный опе­
ратор имеет дискретный спектр, то его собственные числа 
можно расположить просто в порядке их возрастания
О <[ X, sg \  s g ... sg Х„ < ;..., Х„ -* оо.
Т е о р е м а 6.6.1. П у с ть положительно определенный 
оператор таков, ч т о любое множество, ограниченное в 
энергетической метрике, ком пактно в метрике исходного 
пространства. Тогда обобщенный спектр этого опера­
тора дискретен.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
1. Рассмотрим число
Xt == inf | ы|®. и £ Н А, !|и|| =
1
.
Построим минимизирующую последовательность {«>*}• Это 
значит, что
а )ш к (= Н А; б) i| о»* 
,1
—
1
; в) lim |a)fe| = X,.
ft-*оо
Числовая последовательность, имеющая предел, ограни­
чена, поэтому существует такая постоянная С, что 
Если так, то минимизирующая последовательность ограничена 
в метрике Н А. По условию теоремы эта последовательность 
компактна в старой метрике, а тогда в силу теоремы 6.5.1

---

Xj есть наименьшее собственное число оператора; соответ­
ствующий собственный элемент обозначим через пу
2
. Допустим, что мы уже построили первые я собствен­
ных чисел
Xj, Xj,..., Хя
и соответствующие им собственные элементы
Мр 
• • .> кл.
Обозначим Х
„ +1
= inf | a f, и £
|| и |) = 1 и построим мини­
мизирующую 
последовательность 
(А = 1 ,2 ,...). Тогда
|<|>(я)| -> X^j, следовательно, существует постоянная С такая, 
*-♦00
ЧТО
К > | < с
Последовательность 
(k = 1 ,2 ,..,) компактна в старой
метрике, а тогда по замечанию, сделанному в начале этого 
параграфа, Хя+, есть (я —
f- 1)-е собственное число оператора А 
и существует соответствующий этому числу собственный 
элемент и ^ .
Процесс оборвется,если условия |]и
|= 1
и 
j»> станут 
противоречить друг другу. Это может случиться, когда простран­
ство //<"> состоит из одного нуля, а последнее может быть, 
когда Н
а
есть конечномерное пространство. Но Н
а
плотно 
в Н  и будет конечномерным тогда и только тогда, когда само 
пространство//конечномерно. Этот случай мы из рассмотрения 
исключаем и будем предполагать, что пространство Н, а с
ним и Н
а
бесконечномерно. В таком случае процесс не обор­
вется и мы получим бесконечную последовательность соб­
ственных чисел
X i < X „ < . . . < X n< . . .
(
2
)
и последовательность соответствующих им собственных эле­
ментов
^
1
) Kj) . * • , 
. • •, 
(3)
ортогональных в Н  и