И здан и е второе, стереотипное

(1.2) 
и 
теореме 
6.3.1
} __ (Аи, и) 
.
ц
„
>Т«- 
(4)
Заметим еще» что формуле 
(1.2) 
в нашем случае можно 
придать вид
Х
- 1 " ^
(5)
(5)
Правая часть не изменится, если и умножить на отлич­
ную от нуля постоянную. Выберем эту постоянную так, 
чтобы собственный элемент и был нормирован в метрике 
исходного пространства: 
||и|=1. 
Тогда для собственного 
числа получается формула, в некоторых отношениях более 
удобная:
Х = | « | а
д, ||«|р = 1. 
(6)
§ 4. Вариационная формулировка задачи
о собственном спектре
Начнем со следующего замечания: если f j — нижняя грань 
положительно определенного оператора А, то
. й д 1 й М -
(1)
ифо
Докажем это. Так как 
£ > ( А ) С #
а
>
т о
. е I и 1 л _ . , I “ l3i 
. { (Аи, и) 
,
* 
II 
и
й3 " 
* 
II 
и
II3 
1 
Hull2 
и е 
II “ II 
и £ D (А) II “ II 
и £ D (А) 
II ы н
ифО
“ 7 ^ ° 
пФ°
С другой стороны, D (Л ) плотно в И А; если и £ Н А, то 
можно подобрать элемент v (5 D (Л) так, чтобы |г» — н|л <^е 
и I г; — и||<^е, где е — сколь угодно малое число. Но тогда 
1
М д — | ” |д | <С e? III® ! — I!м I! 1
если бы оказалось, что 
для некоторого элемента и £ Н А
1
“
1
л ^
5

---

то при достаточно малом е было бы также
А ___ (Av, v) 
а
1
М Г
Ы Г < ъ>
что противоречит определению нижней грани.
Т е о р е м а 6.4.1. Если сущ ествует элемент щ, на ко­
тором ниж няя грань отношения (
1
) достигается, т о  yS 
е сть наименьшее обобщенное собственное кисло, а щ — 
соответствую щ ий, собственный элемент оператора А.
При умножении элемента и на постоянную отношение
не меняется, поэтому элемент и можно считать нормирован­
ным. Тогда
Обозначим еще fo = X,.
То, что нижняя грань достигается на элементе uv озна­
чает, что
Возьмем произвольное т) £ Н А и произвольное веществен­
ное а и составим отношение
Если зафиксировать irj, то отношение (4) есть функция от а, 
которая достигает минимума при а = 0 . Но тогда ее про­
изводная по а должна обратиться в нуль при а = О
(
2
)
* ( « ) = ! “ Г* 
Н =
1
.
(3)
«1
€ н А, 
1
^ =
1
, 
К \г= К
л [“ |. “ i
1
+
2
a [»i. •ч] + а*
171
. 
I
do (u „ «,)-}-
2
а (Uj, T|)-i-a*(Tj, i]) |„_o
Выполнив дифференцирование, получим
2 ( « j , м,) [ « у
ц] — 2
( « у -г;) [и „ и ,] = 0. 
(5 )
Заметим, что
(Hi, и,) =