И здан и е второе, стереотипное

в
Н
а
и 
нормированных в Н .
3. Докажем, что собственные числа стремятся к бесконеч­
ности. Допустим противное, и пусть последовательность {Хя|

---

ограничена
Х„ != £/(= const.
Тогда
\un\ = V K ^ V " K ;
собственные элементы ограничены в Н А, и потому их после­
довательность компактна в метрике Н. Получается, что после­
довательность, которая в Н  ортогональна и нормирована, 
компактна в Н, а это, как известно, невозможно.
4. Докажем, что система собственных элементов полна в Н А. 
Допустим противное, Рассмотрим подпространство 
про­
странства Н
а
, ортогональное ко всем собственным элементам 
ип, п —  1, 
2
, . . . . Это подпространство содержит отличные 
от нуля, а следовательно, и нормированные элементы. Обоз­
начим
Хда = inf J и f, н £ #<“ >
>
, || и || =
1
.
Повторяя слово в слово приведенные выше рассуждения, 
найдем, что Х^ есть собственное число оператора.
Сравним Ха, с Х„. Это — нижние грани одной и той же ве- 
|(|К
личины 
на различных множествах Н ^  и Н<£\ Первое
множество — более узкое, чем второе, и на нем нижняя грань 
больше (в крайнем случае не меньше), чем на втором. Но 
тогда Xoo^X^ что нелепо, потому что числа Х„ в совокуп­
ности не ограничены. Из полученного противоречия вытекает, 
что последовательность {«„} полна в Н
а
-
5. Докажем, что последовательность собственных элемен­
тов полна в И . Возьмем и £ Н А- Система (В) полна в Н А- 
для любого е^>0 существуют натуральное число N  и числа 
<*!> а2, . . . , ау такие, что
N
I
и —
21
а*м*|
f t - 1 
|А 
А тогда по неравенству (3.3) гл. 5
N
N '
И — 2 а*м* < Т *
fc=l 
II 
1
Таким образом, любой элемент энергетического пространства

---

можно аппроксимировать линейной комбинацией элементов (
3
) 
в старой метрике.
Пусть теперь и ^ Н . Пространство Н А плотно в И, т. е. 
для любого положительного числа s существует и '^ Н А, 
такое, что
Подберем номер N  и коэффициенты a.t, . . . , a N так, чтобы 
выполнялось
N 
II 
2
<**«* < т -
А = 
1
I
А теперь по неравенству треугольника
I 
N 
II 
I 
* —i 
II
что доказывает теорему.