Xm)
dV. ( 12)
3. Волновой оператор часто обозначают символом [jj
т — I
п = — ___
У
—
^
* T i
д х ъ
Этот оператор — формально самосопряженный; значения его
коэффициентов таковы:
^ ш =
Akk==
—
1
k
^
tn
1;
Ajk
= О,
]ф к \
С = 0.
Формулы (5) и (6) для волнового оператора имеют следую
щий вид:
Г т
— 1
С ,—, j
f
V дм dv
ди dv
V t Q u X — \
2 d W k dTk ~
+ \v
L k = I
ди
dx-\-
£
C0S (V- * « ) ~ 2 Ш 7 С° НЧ’ Xh)
m -
1
fe= 1
d r, (13)
f ( t Q « —
O
)
(v ^ n ~ u
cos (v’ Xm)'
m — I
2 ( ^
- “ S
cos(v’ Xk)
d r.
(14)
‘Р А З Д Е Л V
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Г Л А В А И
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Основные понятия
Мы начнем с самого простого и важного из эллиптиче
ских уравнений, а именно с уравнения Лапласа. Это урав
нение имеет вид
_ Д н = / ( * ) .
( 1)
Здесь f ( x ) — заданная функция. Если /(х )щ ЁО,
т о
уравне
ние (1) называется неоднородным уравнением Лапласа. При
/(лт) = 0 имеем однородное уравнение Лапласа
Ди = 0.
(2)
Неоднородное уравнение Лапласа часто называют уравнением
Пуассона.
В более подробной записи уравнения Лапласа — неодно
родное и однородное — выглядят так:
т
и соответственно
т
I
Щ
- *
А = 1
Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность Г, не
обязательно связную, и пусть Г ограничивает область Й,
конечную (рис. 12) или бесконечную (рис. 13). В обоих слу
чаях предполагается, что сама поверхность Г конечна. Будем
изучать поведение решений однородного уравнения Лапласа
в подобных областях.
Функция н(дг) называется гармонической в конечной
области 2, если она в этой области дважды непрерывно
дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению
Лапласа.
I v
[Г
Рис. 12.
Будем говорить, что функция и (х ) гармоническая в бес
конечной области 2 , если в каждой точке этой области,
находящейся на конечном расстоянии от начала, и (х ) дважды
непрерывно дифференцируема, удовлетворяет однородному
уравнению Лапласа и на бесконечности имеет порядок
О
• так что для достаточно больших | х | имеет место
неравенство
l« W I< l^ r r .
•
О)
где т — размерность пространства, а С — некоторая постоян
ная. В случае двумерной области ( т — 2) условие (3) озна
чает, что гармоническая в бесконечной области функция
ограничена на бесконечности.
Подчеркнем, что определение гармонической функции отно
сится только к случаю откры той области (т. е. открытого
связного множества); если говорят о функции, гармонической
в замкнутой области, то под этим понимают, что данная
функция гармонична в более широкой открытой области.
Заметим еще, что определение гармонической функции
не накладывает никаких ограничений на поведение функции
на границе области.
Рис. 13.
П р и м е р
1.
Если О — бесконечная область, то функция
и (х) = 1 гармоническая только при т — 2. Если т > 2 , то в бес
конечной области эта функция негармонична. Однако она гар
монична в любой конечной области при любом
т.
П р и м е р 2. В двумерной плоскости функция
где
z — x-{-iy, гармонична в любой области, которая не содержит
начала координат.
П р и м е р 3. Функция R
г У г, z = x-\-iy, гармонична в круге
)г | < / ?
( R — любое положительное число), разрезанном вдоль
какого-либо из его радиусов.
П р и м е р 4. Функция двух переменных
и = х*-\-уа не являет
ся гармонической ни в какой области, так как она не удовлетво
ряет однородному уравнению Лапласа
А ( х * + у 2) = 4ф0.
П р и м е р 5. Функция
и — хг —
гармонична в любой конеч
ной области.
На двумерной плоскости конформное преобразование не меняет
однородного уравнения Лапласа (см. § 3 гл. 13). В случае любого
т
это не так, но все же существует преобразование, которое перево
дит любую гармоническую функцию в гармоническую же. Это
пре
образование Кельвина, которое переводит точку х ( * „ xs, ... , хт )
в точку
х’ (лг|, я-'....... .v^), симметричную с точкой х относительно
сферы данного радиуса
R с центром в начале координат, а дан
ную функцию
и (х) переводит в функцию
п т
-а
® (*') = j p - р т и (*)•
(4)
Напомним, что точки
х и х' называются симметричными
относительно названной выше сферы, если они лежат на одном
луче, исходящем из начала, и если |
х \ • | х' | = R*. Декартовы коор
динаты симметричных точек связаны соотношением
Хь = Xk [FT* *
Простой,
хотя и довольно громоздкий подсчет приводит
к соотношению
т
т
Д * _ \
Ё Е
- l * ! ” * ’ У 1
д ‘ а
-
А
Я
х — £ дх,. — дт+> £ дх.
Rm+ll
х",
поэтому если Д*и
— 0, то Дx,w — 0.
Do'stlaringiz bilan baham: 
