И здан и е второе, стереотипное

§ 4. Случай двух независимых переменных
Уравнение в частных производных второго порядка с двумя 
независимыми переменными примечательно тем, что его можно при­
вести к каноническому виду не только в отдельно взятой точке, 
но и в некоторой области, в которой тип уравнения не меняется.
Будем обозначать независимые переменные через дг и 
у, стар­
шие коэффициенты — через 
А, В, С. Тогда уравнение можно запи­
сать в виде
. д*и , по дги , „д*и , , (
ди ди\ 
„ 
...
А дх*+ В дхсly + С dyJ + Г ’ ^ и'д х ’ д у )~ ’ 
( *
будем считать, что в каждой точке хотя бы один из коэффициентов 
А, В, С отличен от н>ля.

---

Напишем матрицу старших коэффициентов
и уравнение ее характеристических чисел
или
Xs— (А + С) X + АС— В* =0.
Это уравнение имеет вещественные корни
А + С ± У (А — С)а + 4В* .
■
о---------- »
они одного знака, если АС — В* > 0, и разных знаков, если АС —
— В 2 < 0; если АС — В 2 — 0, то один из корней равен нулю, а дру­
гой отличен от нуля. Отсюда следует, что уравнение (1) эллипти­
ческое, если АС — В 2 > 0, параболическое, если АС — В* = 0, и ги­
перболическое, если АС — В 2 < 0; другие типы невозможны.
Уравнение характеристик
можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению 
следующим простым приемом. Пусть <
*>
(дг, у ) — решение этого 
уравнения. Рассмотрим характеристику
порциональными величинами dy и — dx, получим обыкновенное 
дифференциальное уравнение первого порядка
Обратно, если <
■
>
(х, у) — const есть общий интеграл уравнения (3), 
то легко убедиться, что функция и (дг, у) удовлетворяет уравнению 
характеристик.
ш (х, у) — const.
Вдоль этой характеристики выполняется соотношение
или
Adys — 2Bdx dy + C dx2 — 0.
(3)

---

Уравнение (3) распадается на два уравнения
(4)
dy __ В + У В 3 — АС 
dx 
А
dy 
В — Y В* 
—
АС 
dx 
А
совпадающие, если уравнение ( I ) параболическое, и различные 
в остальных случаях.
Рассмотрим, прежде всего, случай, когда уравнение ( I) эллип­
тическое: 
АС — # 3> 0 . Правые части уравнений (4) суть сопря­
женные между собой комплексные величины. Пусть £ 
(х, 
у) 
-J- 
+
щ (*, у) — const есть общий интеграл первого уравнения (4); мы 
считаем при этом, что £ и nj вещественны при вещественных 
х 
и 
у. 
Примем $ и т) за новые независимые переменные, и пусть 
А, 
В, 
С — 
новые старшие коэффициенты. В § 1 было указано, что характе­
ристики инвариантны при преобразовании независимых переменных; 
поэтому новому уравнению характеристик
*(50‘+й * ? + е (ч )’-
<
5>
должна удовлетворять функция <о = £ -j- Л). Отсюда 
А — С, Ъ = 0;