И здан и е второе, стереотипное

5/п-1>
т- е- по направлениям, касательным к Г. Единствен­
ная вторая производная, которую нельзя вычислить, исходя
дги
только из данных Коши, — это -эт—, но как раз она в пре-
v? т
образованном уравнении отсутствует.
Значения всех слагаемых в левой части уравнения (1), 
преобразованного к переменным 
;2, . .., ?от, могут быть 
вычислены на поверхности Коши Г. Подставив эти значения 
в уравнение, получим, что некоторая заданная функция дол­
жна тождественно равняться нулю. Это и есть соотношение 
между данными Коши на характеристике; если оно нарушено, 
то задача Коши с данными на характеристике решения не 
имеет.
Для примера рассмотрим уравнение теплопроводности

---

Его уравнение характеристик есть
*=1
откуда о)= /(лгт ), где / — произвольная функция. Уравнение 
характеристической поверхности имеет вид f ( x m) —  const; 
решая его относительно х т , получим уравнение вида х т =  const. 
Таким образом, характеристики уравнения (7) суть плоскости 
х т —  const. Пусть поверхность Коши есть плоскость х т = 0, 
а условия Коши имеют вид
и
х
= 0 — ToC^l..........
х т -
1)> 
л у. 
х
= п —
•••>
т
гг
гп
(
8
)
Полагая в уравнении (7) д:от==0, мы сразу получим соотно­
шение
от- 1 
1== 
2
—
9 t ' ~ J L d x f  
a=i
Отсюда видно, что второе из условий (8) задавать нет смысла 
достаточно задать только условие
М ! X =0 == 'fo (-*1>
x i.......
§ 3. Приведение уравнений второго порядка 
к каноническому виду
Рассмотрим специально случай линейного невырожденного 
преобразования переменных
tr = jr k X k; k ~ \ , 2, 
т ; ) rk —  const. 
( 1)
Введем в рассмотрение матрицу J  с элементами ] гк. Пре­
образование ( 1) можно записать в виде
\ = Jx . 
(10
Зафиксируем точку х, тогда матрица А старших коэф­
фициентов уравнения станет постоянной. Матрицу J  можно 
выбрать так, чтобы преобразованная матрица старших коэф­
фициентов (формула (1.5)) 
A = JA f  была диагональной:

---

AJk = 0, j Ф k. Тогда в зафиксированной нами точке урав­
нение ( 1.1) принимает вид
т
-
д2и 
I 
a
. /f t 
t 
.. 
ди ди 
ди \ 
п 
/0ч
2d 4 & ‘к 
1 
*...... т ’ 
d fr dt2 ’ • • • ’ Я
J
“
^
Здесь vft = i4ftft. Такой вид уравнения второго порядка, когда 
отсутствуют смешанные вторые производные, называется ка­
ноническим видом этого уравнения. Таким образом, уравне­
ние в частн ы х производных второго порядка, линейное 
относительно старших производных, можно в любой т о ч ­
ке пространства привести к каноническому виду с по­
мощью линейного преобразования независимых переменных.
Очевидно, что уравнение можно привести к каноническо­
му виду сразу во всем пространстве, если старшие коэф­
фициенты A jk постоянные.
Уравнения Лапласа, теплопроводности и волновое имеют 
канонический вид.
Канонический вид уравнения тесно связан с его типом. 
В силу закона инерции квадратичных форм среди чисел 
столько же положительных, отрицательных и нулей, сколько 
их среди чисел 
— характеристических чисел мафицы стар­
ших коэффициентов. Поэтому тип уравнения в частных про­
изводных второго порядка, линейного относительно старших 
производных, можно определить так: уравнение ( 1.1) принад­
лежит к типу (а, (3, f), если в канонической форме ( 2) этого 
уравнения среди чисел vft есть а положительных, р отрица­
тельных и ^ нулей.