И здан и е второе, стереотипное

разделив преобразованное уравнение на 
А, приведем его к канони­
ческому виду
д*и , д*и , . „
ди ди\ 
п
^ + д? + * « (Ь ч . « . -щ, 
(6)
Обратимся к параболическому случаю Пусть 5 (
х
, 
у) 
= const — 
общий интеграл каждого из уравнений (4). Введем новые пере­
менные £ и 
1
), где ■»).= к
)(х, у) 
— какая-либо функция, независимая 
от £ 
(х, у). 
Уравнение 
(5) 
имеет решение £ = £, поэтому Л = 0. 
Кроме того, тин уравнения не изменился при замене переменных, 
поэтому 
AG — ё* — 0. Отсюда В~=0. Разделив преобразованное 
уравнение ( I ) на 
С, приведем его к каноническому виду
дги , . Л. 
ди ди\ 
п 
/7V
э ? + ф‘ ( И ' “ • Э1 * W
( )
В гиперболическом случае в качестве новых независимых пере­
менных введем £х = £ +»), *]t = £ — *|, где £ (.г, 
у) 
= const и 
ц 
(х, 
.у) =
= const суть общие интегралы уравнений (4). Уравнение (5) имеет
1 
1 
~ 
% 
два решения: S> = — 
и a = y (S i—
41
). поэтому Л = —
С
и 6 = 0. Разделив преобразованное уравнение (1) на А, приведем его 
к каноническому виду
&и 
д*и 
dsf 
dr)f

---

§ 5. Формально сопряженные дифференциальные 
выражения
Рассмотрим линейное дифференциальное выражение вто­
рого порядка
i " = ^ * 4 f e - + ‘4* S 5 + 'v ''
В евклидовом пространстве координат x t, 
. . . , х т  зада­
дим конечную область 2, ограниченную кусочно гладкой 
поверхностью Г. Будем предполагать, что в замкнутой об­
ласти S = 2 [J Г коэффициенты Ajk имеют непрерывные 
вторые производные, Ah — непрерывные первые производные, 
а коэффициент Д> непрерывен. Будем также предполагать, 
что и £ С(9) (2), т. е. что функция и (х ) непрерывна вместе со 
своими_ первыми и вторыми производными в замкнутой об­
ласти 2 .
Построим дифференциальное выражение М, которое назо­
вем формально сопряженным с L :
*
»
-
О)
Удобно преобразовать L  к следующему виду:
1а==щ { А^ ^ + в “ щ + Са>
Вл==А* - ~ Т ч >
С==А°- 
Если L  записано в такой форме, то М  примет вид
Ш  = Щ [ AJ k щ ) — ~ д х “ ] + Си-
Исходя из этого выражения, легко проверить, что формаль­
ная сопряженность е с ть свойство взаимное, т. е. что выра­
жение, формально сопряженное с М, есть L. Действительно,
г= щ [AJ* 
~ в * ш ;
+ ( с ~ а й ) "•
Пусть N  есть дифференциальное выражение, сопряженное 
с М, тогда
Ми-.

---

Если Af = Z., то выражение L называется формально 
самосопряженным.
Как видно из формул (3) и (4), формально сопряженные 
.выражения отличаются только средними членами этих фор­
мул. Ясно, что M = L тогда и только тогда, когда £* = О, 
k = \ , 2, . . . , т . Поэтому дифференциальное выражение L  
будет формально самосопряженным тогда и только тогда, 
когда В к= 0, k = \ , 2, . . . , т . Отсюда следует, что само­
сопряженное дифференциальное выражение второго порядка 
можно привести к виду
1” = 4 ( Л'‘ ^ ) + С“' 
А * = А ч -
<
5>
Оператор Лапласа и волновой оператор формально само­
сопряжены; оператор теплопроводности не является формально 
самосопряженным.