И здан и е второе, стереотипное

§ 6. Формулы Грина
Пусть дифференциальное выражение L  определено фор­
мулой (5.3), коэффициенты которой удовлетворяют условиям 
§ 5. Пусть, далее, функции и, v ^ С (а) (2). Составим инте­
грал
I v L u d x
= 
l v Щ { А ; * щ
) d x + \ v [ в * Щ
+ С и ) d x ■
(1)
Применив к первому интегралу справа формулу интегри­
рования по частям (§ 1 гл. 2), получим так называемую 
первую формулу Грина
I v ( Вк 
^ С и ) d x
^ §
v Aj k
cos 
(v* Х / ^ d T ' 
^
а 
г
Здесь v — внешняя (по отношению к области) нормаль к по­
верхности Г.
Напишем первую формулу Грина для формально сопря­
женного дифференциального выражения М , поменяв при этом

---

местами и и v:
j 
u M v d x =
J 
A „ i “7-l § l d* +
+ \ и { - в ‘ й
+
{ с - щ
1 ' ’ } ,' * +
a
+
иЛЛ< щ  cos(v, X j)d T . 
(3) 
г
Вычтем формулу (3) из формулы (2). Можно убедиться, что 
все объемные интегралы справа исчезнут. Действительно, так 
как A/k — Ab/> т0 первые интегралы в правых частях формул
(2) и (3) совпадают. Далее, интегрируя по частям, получаем
— § uBk-^kd x = \ v 
d x — \ B kW cos (v, x h) dV =
s 
a 
^
= ^ \vB k 
-j- uv 
d x — ^ B kuv cos (v, x k) dT. 
я 
£
Отсюда ясно, что объемные интегралы в формулах (2) и (3) 
справа тождественны.
В результате вычитания получаем вторую формулу 
Гоина
^ (vLu  — uM v) dx —  
s
= ^ 
ш , ~ u щ !  + Bt>uv\ cos ( v’ х ь) dT’ 
( 4)
г
Формулы Грина несколько упрощаются для формально 
самосопряженных дифференциальных выражений. В этом слу­
чае B k^ 0 ,  и мы получаем следующие, более простые фор­
мулы: первая формула Грина
I * L u d x =
-
\
- f \ 
vAJ»-srk
cos(y’ 
с5)

---

вторая формула Грина
dv'
дхц,
■j cos(v, X/)dT. 
( 6)
Напишем формулы Грина для трех важнейших дифферен­
циальных выражений (их обычно называют операторами) 
математической физики: Лапласа, теплопроводности и волно­
вого.
1. Оператор Лапласа
— формально самосопряженный; его коэффициенты имеют 
значения AJk — bjk, С =  0. Подставив эти значения в фор­
мулу (5), получим первую формулу Грина для оператора 
Лапласа:
называется интегралом Дирихле.
Полагая в (7) v = \, получаем важную для дальнейшего 
формулу
М
f A
m
dx —  —
ди dv 
дхк дхк
d x + {
(7 )
Отметим два частных случая формулы (7). 
При u — v получаем
Как уже отмечалось (§ 3 гл. 4), интеграл
т

---

вид
В то р а я формула Грина для оператора Лапласа имеет
С (г> Дм — ttb .v)d x =  jj 
— и 
(10)
в
Г
2. Оператор теплопроводности
m— 1
_ _
д 
у
д*
дхт
Z i дл 
*«=1
не является формально самосопряженным. Для этого опера­
тора
== 0; Ahk =
1 >
1 =£= k ^ т  — 1; Ajk = 0, J ф k\ 
В т —  1; B k =  0, 
l ^ k ^ m — 1; 
С —  0.
Оператор М , формально сопряженный с оператором тепло­
проводности, имеет вид
т
— I 
fc=l
По формулам (2) и (4) находим
(
от— 1 
\
m — I
+ l V 2 d k C0S^ ’ X * ) d T ;
(П)
J (vLu — uM v) dx —
I