И здан и е второе, стереотипное

§ 2. 
Сингулярное решение уравнения Лапласа
Пусть х (jclt xt, ..., х т ) и 5(?i, Sg, 
, 5т ) — две точки 
/и-мерного евклидова пространства Е т . Обозначим
r= U - S| = l/ 2 (* » _ S ,,)*
(1)
и рассмотрим функцию
= ^
(
2
)
в предположении, что т^ >  2. Будем считать точку £ фик­
сированной, так что v(x , I)  можно рассматривать как функ­
цию точки лг.
Функция v(x , 5) разрывна при лт = Е. Докажем, что 
в любой области, которая не содержит точки S, функция 
v (x , £) гармоническая. Прежде всего, в такой области функ­
ция v (x , £) непрерывна вместе с производными любого по­
рядка. Далее, на бесконечности
*(*•*)=о (утр*)- 
(3)
Действительно, г — \х — £ 15 = | .* | — 151. Нас интересует по­
ведение функции v при достаточно больших | х  I, поэтому мы
можем считать, что | х  | 
2 151. Тогда | $ | <С у I 
l> г 
у I I
и
2m-i
^ X p j p F T -
Соотношение (3) существенно, если рассматриваемая область 
бесконечная.
Наконец, функция (2) удовлетворяет однородному урав­
нению Лапласа.
„
дг 
хь —
В самом деле, 3
. отсюда
OXfy 
г
dv __
т  — 2 дг __
( т  — 2) 
(лгй 
— £fc)
дх/, 
гт ~1 дх k 
Гт  
*
Далее
d*v 
т  — 2 , 
т ( т  — 2) (хь — £*)*

---

Суммируя, находим
| - ч
А=» * 
*=1 
J
Функция v (х, £) называется сингулярным решением урав­
нения Лапласа.
Как мы увидим ниже, для применений сингулярного реше­
ния важно то-
, что оно с определенной скоростью стремится 
к бесконечности при х->1. При т — 2 функция (2) делается 
тождественно равной единице; такая функция не может слу­
жить сингулярным решением.
В случае т — 2 сингулярным решением уравнения Лап­
ласа называется функция
v (x , £) =  In 
(4)
Эта функция гармонична в любой конечной области, не со­
держащей точки £.
Сингулярное решение уравнения Лапласа есть симметрич­
ная функция от х  и 5. Поэтому при фиксированном х  функ­
ция v (х, £) представляет собой гармоническую функцию от £ 
& любой области, не содержащей точки лег; в случае двух из­
мерений эта область должна быть конечной.
З а м е ч а н и е . Для читателя, знакомого с понятием обобщен­
ных функций, заметим, что сингулярное решение уравнения Лап­
ласа удовлетворяет уравнению
—
Av =
сВ (х
—
5),
где 8 — функция Дирака, а 
с — подходящим образом выбранная по­
стоянная.
т