И здан и е второе, стереотипное

§ 4. Интегральное представление гармонической функции
Пусть ч (х ) — функция, гармоническая в конечной обла­
сти 2 с кусочно гладкой границей Г; по самому определению 
гармонической функции и ^ С(а) (2). 
Допустим еще, что 
н ^ С (2) (2), тогда для функции h(jc) можно написать интег­
ральное представление (3.4). При этом Ди = 0, объемный
« ( * ) = * ;
Г дч
1 ди (6) 
п
(5)
&
In — Ди(5)(К, 
(6)

---

интеграл исчезает и получается формула
, w = i 4 r o i ( ^ T - « « s p ) ^
(,)
г
которая называется интегральным представлением гармони­
ческой функции.
Для т =  2 интегральное представление гармонической 
функции получается из формулы (3.5) при Дц = 0
« М = i J ( l" | ^
- и (?) I  in i ) ^ Г . 
( i ,
Т е о р е м а 11.4.1. Функция, гармоническая в некоторой
области, имеет в этой об­
ласти производные всех по­
рядков.
Пусть функция гг(х) гар­
монична в области 2 , конечной 
или бесконечной. Из области 2 
выделим конечную 
внутрен­
нюю подобласть 2 j; термин 
«внутренняя» означает, что 2 , 
вместе со своей границей Г , 
лежит внутри 2 (рис. 15); под­
область 2 | выберем так, что­
бы ее граница была кусочно 
гладкой. Очевидно, h ^ C к
области 2, можно приме­
нить интегральное представление ( 1):
“ ^ =
(т —
2)| S. | § 
~ 11
F ^ 3) rfer ’
Г1
* £ 2 ,.
Построим подобласть 2 2, внутреннюю по отношению к 2, 
(рис. 15), и будем считать, что х  £ 2 2. Тогда подынтеграль­
ная функция в (3) непрерывна по совокупности переменных х  
и 5 и имеет непрерывные же производные всех порядков по 
декартовым координатам дг„ х%, . . . , х т  точки х. По извест­
ной теореме о дифференцировании интеграла по параметру 
функция и (х ) имеет производные всех порядков по Xj,

---

х г, . . . . хт , и эги производные можно получить дифференци­
рованием под знаком интеграла в формуле ( 1).
Чтобы завершить доказательство, остается заметить сле­
дующее: подобласти 2 t и 2 4 можно выбрать так, чтобы любая 
заранее указанная точка х  ^ 2 попала в 2 а.