|
§
6
. С войства объемного потенциала
Пусть 2 — конечная область /га-мерного евклидова прост
ранства, ограниченная кусочно гладкой поверхностью Г, и
пусть р ( £ ) £ С ( 2 ) . Рассмотрим объемный потенциал
? (■ * )=
(
1
)
Q
в формуле (1)
х
может означать любую точку пространства
Е
Т е о р е м а 11.6.1.
Если плотность р измерима и ограни
чена в
2
,
т о объемный потенциал
(
1
)
непрерывен и непрерывно
дифференцируем во всем
пространстве Е т .
Функция р(5) по усло
вию
теоремы
ограничена. ,
Пусть |p (S )ls ^ C . Доопре
делим эту функцию^ поло
жив р (£) =
0
, £ £ 2. До
определенная таким образом
функция р ($) также удовлет
воряет условиям теоремы:она
измерима и ограничена; при этом по-прежнему | р ($) | ^ С.
П усть
х
— произвольно заданная точка пространства
Е т .
Построим какую-нибудь конечную область 2ц содержащую
внутри себя как точку
х,
так и область
2
(рис. 16); если
х
£ 2, то можно взять 2 j = 2. Функция р (?) = О в 2 ^ 2 ,
поэтому потенциал (
1
) можно записать в виде
? (- * ) =
(
2
)
et
Непрерывность функции
<р(х)
в точке
х
вытекает из утвер
ждения, приведенного в конце §
4
гл.
7
.
Докажем теперь, что объемный
потенциал (
1
) имеет
в точке
х
непрерывные первые производные no-jtj,
х г
.......
х т .
С этой целью продифференцируем формально интеграл (
2
)
по
Xh
под знаком интеграла. Это приведет нас к интегралу
“ j
который сходится равномерно, так как
rm-i ■
Перепишем интеграл (3) в виде
-р(*)Л;
А {х Л )-
J
г
а
(х, е>
(т - 2 ) ( х „ - Ы
У г
Функция Л(дг, S) непрерывна, а функция р(£) ограничена
в S i. Из упомянутого выше утверждения § 4 гл. 7 выте
кает, что интеграл (3) есть непрерывная функция от дг в
2
,.
По теореме о дифференцировании интегралов, зависящих от
д<а
параметра, производная
равна интегралу (3):
ду
существует в точке дг ^
2
» и
Отбросив равный нулю интеграл по 2 , \ 2 , получаем
ду
дх„
(4 )
Таким образом, первые производные объемного потенциала
можно получить дифференцированием под знаком интеграла.
Т е о р е м а 11.6.2.
Если п лотн ость
р
измерима и огра
ничена
в
2
,
т о в каждой из областей, дополнительных
к
2
,
объемный потенциал
(
1
)
гармоничен.
Если граница Г области 2
не
связная,
то
существует
несколько областей
2
^
2
9, . . .
. . . ,
2
„, дополни тельных к
2
(рис. 18). Пусть 2
j
— одна из
этих областей. Возьмем про
извольную внутреннюю по от-
Рис. 17.
ношению к
Qj
подобласть
Q'Jt
и пусть дг £ 2
'j.
Тогда в интеграле (1) расстояние г ограни
чено снизу положительным числом
1
8
, равным наименьшему
расстоянию между точками границ областей 2, и
(рис. 17).
Подынтегральная функция
а также ее производные лю
бого порядка iio ^i,
.^. >
х т
непрерывны по совокуп
ности точек х ( = 2 ; и £
2. Отсюда следует, что функция
<р(дс) имеет в
2
у
непрерывные производные всех порядков,
которые можно получить дифференцированием под знаком
интеграла, и что в этой области
Д* ? ( * ) = = ? Р ( * ) Д,-йи<Й =
0
.
#
Так как 2у — произвольная подобласть, то последние заклю
чения верны во всей области 2
у .
Если эта область конечная,
то гармоничность функции (
1
) доказана, если же область
2
у
бесконечна, то нало еще установить оценку (
1
.
3
) на бесконеч
ности. Это делается так же, как в теореме 11.5.1: если
Н
—
диаметр границы Г, а начало координат лежит в 2, то при
* | >
2Н
будет r > i - | * | „ |ср (х )
1
^ - ^ И ! .
Т е о р е м а
11.6.3.
Если плотность
р ^ С
11
) (2),
т о
объемный потенциал
(
1
)
им еет в
2
непрерывные вторые
производные и удовлетворяет неоднородному уравнению
Лапласа
— Дср = (от — 2
) |
S i
|
р(х),
/ я >
2
,
— Дер = 2тгр
(х),
т = 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для
т^ > 2 ;
для
т = 2
оно проводится аналогично.
Функция
зависит только от разностей
x k
—
Чк, k =
—
J >
2
, . . . .
т ,
поэтому
_д
___
1
_ __ ____
д
1
дхь гт ~2
б~к гт ~г'
Подставив это в формулу (4) и проинтегрировав затем по
частям, получим
d? __
f
д
I
= j
Щ ^
d% ~
S р (*) C0S (V’
Хк) г*™
der *
(6)
Производная — оказалась суммой двух потенциалов.
Первый из них — обьемный потенциал с непрерывной плот
ностью
щ-,
который, как мы доказали, имеет первые про
изводные. Второй — потенциал простого слоя с кусочно не
прерывной плотностью p(S)cos(v, л:/,), который, по теоре
ме 11.5.1, имеет внутри области 2 производные всех по
рядков.
Итак, правая часть формулы (
6
) имеет первые производ
ные в области
2
, что в свою очередь означает существова
ние вторых непрерывных производных от
ср
в той же об
ласти. Осталось доказать, что в области 2 функция cp(-v)
удовлетворяет уравнению (5). Рассмотрим произвольную внут
реннюю подобласть 2 ' области 2. Очевидно,
ср
£ С (9) (2').
Введем в рассмотрение функцию ф.(?) со следующими свой
ствами:
1
> £ С (а)(
2
);
ф(*)==
0
,
5 £ a \ Q \
( ? )
Из соотношений (7) следует, что
'
дч
Г ’
■
О
(
8
)
= 0 ,
(9)
где Г
7
— граница области
2
'.
Для функции ф справедливо интегральное представление
(3-4):
( и — 2 ) | S , | J (г Я = * Л
—
(tit
— 2) | S, | J
откуда, учитывая граничные равенства (
8
), получаем
Ф (•*) = — (и —
2
) | Sj |
^
Напишем формулу Грина для оператора Лапласа в 2'*»
воспользовавшись равенствами (9), получим
J (<рЧ — фД<р)йГлг == J ( « р ^ —
^ d r = 0.
Отсюда
Do'stlaringiz bilan baham: |
