И здан и е второе, стереотипное

§ 5. Понятие о потенциалах
Интегральное представление (3.4) дает повод ввести три 
интегральных оператора специального вида.
Пусть Г — ограниченная кусочно гладкая поверхность. 
В интегралах представления (3.4) заменим функции Дм(^),
- 
» и (5) соответственно произвольными функциями р(£),
fi(£), о(£). Мы получим тогда три интеграла, зависящих от х  
как от параметра:
(jp U K H r. 
j
которые называются соответственно потенциалом простого 
слоя, потенциалом двойного слоя и объемным потенциа­
лом. Функции ц(£), о(£), р(Е) называются плотностям и  этих 
потенциалов.
Исследуем простейшие свойства потенциалов простого и 
двойного слоя. В отличие от формулы (3.4), в которой обя­
зательно требуется, чтобы точка х  лежала внутри Г, мы 
будем здесь предполагать, что х  может находиться как внутри, 
так и вне Г. Случай х  £ Г требует особого рассмотрения, 
которое будет проведено в гл. 18.
Т е о р е м а 11.5.1. Если плотности суммируемы на Г, 
т о потенциалы простого и двойного слоя гармоничны е 
любой области, конечной или бесконечной, замыкание ко­
торой не имеет общих то че к с поверхностью Г.
В любой точке х  
Г потенциалы простого и двойного 
слоя имеют производные всех порядков — в этом можно убе­
диться, повторив дословно соответствующие рассуждения тео­
ремы 11.4.1. Если D — область, о которой сказано в условии 
настоящей теоремы, то оба потенциала имеют в D произ­
водные всех порядков и, тем более, вторые производные.
Далее, потенциал простого или двойного слоя удовлетво­
ряет однородному уравнению Лапласа. Действительно, если

---

х  ^ Г, то дифференцировать можно под знаком интеграла. 
Обозначая
® (* )= ^ p S = ii4 9 r f * r ,
г
имеем
Д , ( р Ц к 5 К Г = 0;
индекс х  у буквы Д означает, что дифференцирование совер­
шается по координатам точки х. Далее,
Дж® ( * ) = $ Д , ( £ _ > _ ) о(5)(*бг =
Г
= j о 0 ) А* 
pj=i cos (v, * * )) rfEr.
Так как v — нормаль, проведенная в точке S, то cos(v, x k) 
не зависит от х, и его можно вынести за знак операции А*:
Д* w  (х ) = j  о (с) cos (v, x k) Д* ( Д
dtГ =
В случае конечной области D доказательство теоремы на 
этом заканчивается. Если же область D  бесконечная, то надо 
еще доказать, что a(jc) и w (x ) имеют на бесконечности 
оценку (1.3).
Поместим начало координат внутри Г. Обозначим через Н  
наибольшее расстояние между точками поверхности Г.
Повторив рассуждение, проведенное в § 2, найдем, что
при | лг | 
2Н  будет г ]> у , х  |, и, следовательно,

---

последний интеграл конечен, потому что функция [
а
(;) сум­
мируема на Г. Для функции t>(.v) оценка (1.3) установлена 
со значением постоянной С, равным
C =
2
» " *
5
||i(E )|d Er.
г
Рассмотрим 
теперь 
потенциал 
двойного слоя 
w (x
). 
Имеем
< ( « -
2
) J | в (E) 
11
• | cos (v, 
x „)
| 
d f ,
Г
и так как | 
\k — х к
| 
г и | cos (v, 
х к)
| ^
1
, то 
| w (x ) | < т (т.
— 2) ^ | а (с) |
Г
Если | х | > 2
Н,
то г > у | д г | , и окончательно 
, 
. . .
2т ~1т ( т — 2) ? , ,,, , . г
— •-
^ | в (
01
^ г .
Функция о (?) суммируема на Г, и интеграл справа — ко­
нечный.
Таким образом, для потенциала двойного слоя верна 
оценка, даже более сильная, чем оценка (
1
.
3
): потенциал двой­
ного слоя убывает на бесконечности, как | х | "
1
т _ ,).
Теорема доказана полностью.
Свойства потенциалов простого и двойного слоя будут 
полнее изучены в гл. 18.
Если поверхность Г делит пространство на две области —
внутреннюю и внешнюю, то как потенциал простого слоя, 
так и потенциал двойного слоя определяет две гармониче­
ские функции: одна гармонична во внутренней области, 
дру­
гая — во внешней,

---