И здан и е второе, стереотипное

§ 4. 
Задача 
Коши
Для уравнения (1.2) задача Коши ставится следующим 
образом. В пространстве переменных х\, jtj, ..., х т  задана 
некоторая гладкая поверхность Г. С каждой точкой х  ^ Г
(х  
точка с координатами x t, x it ..., х т ) связывается неко-, 
торое направление л, некасательное к Г. В окрестности (одно­
сторонней или двусторонней) поверхности Г требуется найти 
решение уравнения ( 1.2), удовлетворяющее так называемым' 
условиям Ноши
« | г= ?«(•*). 
~ | г= * ,(* ). 
( 1)
Здесь ср0 (jc) и cpj (х) — функции, заданные на Г; будем счи­
тать, что cpj (лг) — непрерывная, а <р0(х) — непрерывно диффе­
ренцируемая функция.
Функции <р0 (х ) и
х ) называются данными Коши, а 
Г
поверхностью, несущей данные Коши, или просто по­
верхностью Коши.
Заметим, что краевые условия (3.2) суть условия Коши 
для уравнения колебаний струны; роль поверхности Коши 
играет отрезок [0, /] оси х.
От краевых задач, рассмотренных в § 3, задача Коши 
отличается тем, что здесь заранее не указывается область,

---

в которой должно быть определено искомое решение. Тем 
не менее мы будем рассматривать задачу Коши как одну 
из краевых задач.
В дальнейшем окажется полезным следующее замечание: 
зная условия Коши (1), можно найти значения всех первых 
производных искомой функции на поверхности Коши Г. Для 
доказательства возьмем на Г произвольную точку х  и по­
строим в ней местную систем у координат X t. Х г, 
Х т . 
Так называется система декартовых координат, начало кото­
рой находится в точке х, оси Х 1г Х %, ..., Х тЛ  расположены
в ( т  — 1 )-мерной плоскости, касательной к Г в точке х, а 
ось Х т  направлена по нормали к Г в той же точке (рис. 10). 
Зная значение функции и = ср0(лс) на Г, мы сразу найдем 
производные по Ху, Х *  ..., X m_i
Далее
ди
Щ
Т ~ д Х ;
k —  1, 2,. .. , m —  1.
Угол (X, X m) отличен от прямого, потому что направление 
X — некасательное к Г. Но тогда cos (X, X m) Ф  0 и последнее

---

равенство дает нам значение недостающей производной:
Зная производные в местной системе координат, мы най­
дем значения производных в системе координат jci, jc9, ..., х т  
по формуле