И здан и е второе, стереотипное

§ 3. Краевые условия и краевые задачи
Желая полностью охарактеризовать физическую задачу, 
мы не можем ограничиться только дифференциальным урав­
нением; необходимо добавить некоторые дополнительные соот­
ношения, которые обычно носят характер так называемых 
краевых (или граничных) условий.
Поясним сказанное на простых примерах. Колебания стру­
ны описываются уже известным нам дифференциальным урав­
нением
дга 
dt2
8 д*и 
д х г
--fix, t).
О )
Допустим, что струна имеет длину I  и в состоянии равно­
весия она занимала отрезок [0 ,1\ оси х. Далее допустим, 
что в момент времени t =  О струна была 
выведена из положения равновесия и начала 
колебаться. Задача состоит в том, чтобы ис­
следовать отклонение и(х, t) точки струны 
с произвольной абсциссой л £ [0, /] и в 
произвольный момент, следующий за началь­
ным, т. е. в произвольный момент £^>0. 
Иначе говоря, функция u (x ,t), удовлетво­
ряющая уравнению ( 1), должна быть опре­
делена на плоскости переменных х  и t в об­
ласти, 
изображенной на рис. 9; граница 
этой области состоит из отрезка [0, /] оси х  и из двух 
лучей дг = 0, <^>0 и х — I, t^> 0.
Единственными данными в дифференциальном уравнении 
( 1) являются величина а1, которая определенным образом за­
висит ог физических свойств струны (от ее плотности и на­
тяжения), и функция f(x ,t ), характеризующая внешнюю силу,
Рис. 9.

---

которая в момент времени t действует на точку х струны. 
Но уравнение ( 1) не содержит, например, никакой информа­
ции о том, каким образом струна была выведена из положе­
ния равновесия, а также о том, каково состояние концов 
струны; они могут быть жестко закреплены или, наоборот,, 
свободны; может случиться, что концы струны не закреплены, 
но их перемещения стеснены теми или иными ограничениями. 
Указанная информация должна быть сообщена особо. Выве­
сти струну из состояния равновесия можно, сообщив ее точкам 
либо начальное смещение, либо начальную скорость, либо и 
то и другое вместе. Пусть точке х  струны, 0<; х  ^ /, со­
общены начальное смещение <р0 (х) и начальная скорость cp1(jf). 
Тогда искомая функция u(x, t) должна удовлетворять соот­
ношениям
(2)
Пусть еще известны законы колебания концов струны: 
пусть в момент времени 
0 ‘смещение левого конца стру­
ны равно <|»i (0> а смещение правого конца — <1>з(0- Тогда 
должны выполняться еще соотношения
м|*=о = <МО> 
И|*-./ = <М0- 
( 3)
Условия (3) нет нужды ставить, если струна бесконечная, 
т. е. если она в состоянии равновесия заполняет всю ось х.
Дополнительные условия ( 2) и (3) должны выполняться 
на линиях t —  0, х = 0, х = /, т. е. на границе области 
(рис. 9), в которой должна быть определена функция и (х, ^)- 
По этой причине указанные условия и называются гранич­
ными или краевыми.
Заметим, что условия (2) и (3) не вполне независимы: если 
требовать, чтобы искомая функция и(х, t) была непрерывной 
не только внутри, но и на границе области своего определе­
ния, то необходимо, чтобы
(о )— 4*1 (°)- 
сРоОО='М °)- 
( 4)
Соотношения (4) называются условиями согласования. 
Они вытекают из требования, чтобы смещение концов струны 
было непрерывным в начальный момент времени. Если требо­
вать, чтобы на границе области (рис. 9) были непрерывны 
также некоторые из производных функции н(х, t), то могут

---

возникнуть новые условия согласования. Так, если требовать 
непрерывности первых производных, то необходимо
если требовать непрерывности вторых производных, то по­
являются условия
Ниже (раздел V I) будет показано, что при достаточно 
слабых ограничениях уравнение ( 1) имеет одно и только одно 
решение, удовлетворяющее краевым условиям (2) и (3). Это 
означает, что уравнения ( 1) — (3) содержат всю информацию, 
необходимую для исследования колебания струны (решение 
единственно), и не содержит избыточной, противоречивой ин­
формации (решение существует).
Рассмотрим еще один пример. Пусть некоторое однород­
ное изотропное тело занимает в трехмерном пространстве (jci, 
х.г, дг3) область Q, ограниченную поверхностью Г. Допустим, 
что в этом теле распределены источники тепла интенсивности 
F" (х ) — F (x it х 3, х 3), независящей от времени. Это означает, 
что в любой 
подобласти 2' C Z ^ за любой промежуток 
времени длительности 
Ы 
выделяется количество тепла, 
равное
Допустим, что в теле установилось стационарное, т. е. не 
зависящее от времени, распределение температур. Тогда тем­
пература в точке _*r = (jci, x it дг3) тела удовлетворяет уравне­
нию Лапласа
где функция f ( x )  только постоянным множителем отличается 
от F  (дг). Одного дифференциального уравнения (5) недоста­
точно, чтобы вполне определить распределение температур 
в теле 2 ; эго видно хотя бы потому, что уравнение (5) 
имеет бесчисленное множество решений. Необходима допол­
нительная информация. Ее можно получить, например, так.
<Р» (0) = ф! (0), 
<р,(/) = ^ (0 );
(4а)
ФГ (0) —
То (0 )= / (0 , 0), 
фа' (0) - а* <р5■(/) = /(/, О).
(46)
bt^F (х) dx.
(5)

---

Поверхность Г рассматриваемого тела доступна для наб­
людений, и в любой ее точке температуру можно измерить. 
Допустим, что нами измерена температура во всех точках по­
верхности Г, и пусть в точке х  £ Г температура и равна 
Тогда мы получаем дополнительное краевое условие
н|г = ?(■*). 
* Е Г - 
(б)
В разделе V будет показано, что задача (5) — (6) имеет, 
в довольно широких условиях, одно и только одно решение.
Если тело неоднородно и неизотропно, то мы приходим 
не к уравнению (5), а к более общему уравнению вида
-