I bob. Tenzorlar ustida amallar

1.Tenzorlarni qo’shish amali
Tenzorlarni qo’shish uchun ularning ranglari bir xil bo’lishi kerak. rang tenzorlarning bir xil komponentalarini almashtirish qoidasi (1.6) ga ko’ra

(1.9)
formulalar bilan beriladi. Bu tengliklarning ikkala tomonini hadma-had qo’shsak, quyidagi munosabatlar hosil bo’ladi:
(1.10)
Bu yerdan (1.6) qoidani e’tiborga olsak, tenzorning ikkinvi ta’rifiga ko’ra

miqdorlar rang tenzor komponentalari ekanligi kelib chiqadi. tenzorlarning yig’indisi
(1.11)
tenglik bilan belgilanadi.
Yig’indisi hisoblanishi kerak bo’lgan tenzrolarning turli xil komponentalari berilgan bo’lsa, ular indekslarni ko’tarish va tushirish qoidasidan foydalanib, bir xil komponentalar ko’rinishida yoziladi, so’ngra qo’shish amali bajariladi. Masalan, ikkinchi rang tenzorlarning komponentalari berilgan bo’lsin. yig’indini topish uchun qo’shish amali ushbu kontravariant yoki aralash komponentalar bilan bajariladi.
2. Tenzorlarni ko’paytirish amali
Bu amal har biri ixtiyoriy rangli ikkita tenzor uchun aniqlangan bo’lib, ko’paytmaning rangi ko’paytiruvchilar ranglarining yig’indisiga teng.
Ranglari bo’lgan tenzorlar berilgan bo’lsin. Ularning ko’oaytmasi rang tenzor bo’ladi. Buni isbotlash uchun, masalan, tenzorning kontravariant va tenzorining kovariant komponentalarining ushbu almashtirish formulalarini

(1.12)
hadma-had ko’paytiramiz:

bu tenglikdan
(1.13)
miqdorlar rang tenzorning komponentalari ekanligi kelib chiqadi. Boshqa xil komponentalari bilan berilgan tenzrolarning ko’paytirish ham shunga o’xshash bajariladi.
3. Tenzorni skalyar miqdorga ko’paytirish amali
Agar skalyar miqdor bo’lsa, ushbu
(1.14)
ko’paytma komponentalari

tenglik bilan aniqlangan rang tenzorni hosil qiladi.