I bob. Tenzorlar ustida amallar

4. Tenzorlarni yig’ishtirish amali
Bu amal aralash indeksli komponentalar bilan ajraladi. Bu amal yordamida berilgan rang tenzorga rang tenzor mos keltiriladi:

(1.15)
va hakozo. 2-rang tenzorga esa nolinchi rang tenzor- skalyar mos keltirildi:
(1.16)
Hosil qilingan rang ob’yektlar tenzor ekanligi va ular uchun tenzor komponentalarini almashtirsh qoidasi o’rinli ekanligidan kelib chiqadi. Masalan,

almashtirish qoidasi o’rinli bo’ladi. Buni ko’rish uchun (1.6) almashtirishda deb qabul qilish yetarli.
Agar tenzor rangi n yetarlicha katta bo’lsa, yig’ishtirish amalini turli juft indekslar (masalan, birinchi va ikkimchi, birinchi va uchinchi va hakozo) bilan bajarish mumkin.
Yig’ishtirish amalini bir necha marta qaytarish ham mumkin. Bunda tenzor juft rangli bo’lganda u nolinchi rang tenzor-skalyarga mos keladi. Agar tenzor toq rangli bo’lsa – birinchi rang tenzor- vektorga mos keladi. Demak, yig’ishtirish amali yordamida invariantlar hosil qilish mukin. Masalan:

son koordinata sistemasiga bog’liq emas. Demak bu invariant.
Ta’rif: n- rang tenzorni yig’ishtirish natijasida hosil qilingan (n-2)- rang tenzorga tenzor o’rami deb ataladi.
O’ramlarda indekslarni ko’tarish va tushirish amali odatdagidek bajariladi. Masalan,
(1.17)
5. Tenzorlarni skalyar ko’paytirish amali
Bu amalhar biri ixtiyoriy rangli ikkita tenzor bilan bajariladi. Buning uchun avval ko’paytirish amalidan foydalanib, ko’paytma hosil qilinadi, keyin ko’paytuvchining oxirgi indeksi va ikkinchi ko’paytuvchining birinchi indeksi bo’yicha yig’ishtirish amali bajariladi.
Masalan, n-rang P tenxori va m- rang Q tenzorning skalyar ko’paytmasi rang T tenzor – o’ram bo’ladi:
(1.18)
2-rang tenzorni o’zini-o’ziga skalyar ko’paytirish natijasida yana 2-rang tenzor hosil bo’ladi:

(1.19)
Bu yerda tenzorning kvadrati, kubi va hakozo deb ataladi. Ushbu ketma-ketlik to’la bo’lishi uchun
(1.20)
ko’rinishidagi metrik tenzor deb ataluvchi tenzorni nolinchi darajali tenzor deb qabul qilinadi.
Yig’ishtirish amali yordamida ketma-ketlikka quyidagi o’ramlar ketma-ketligi mos keltiriladi:
(1.21)
Tenzorlarni skalyar ko’paytirish amalini tenzorning birinchi ta’tifi va poliadalarni skalyar ko’paytirish qoidasidan foydalanib ham bajarish mumkin. Bunda ortiqcha (indekslarni tushirish yoki ko’tarish) amallarini bajarmaslik uchun tenzorning oxirgi va ikkinchi tenzorning birinchi bazis vektorlarining o’zaro teskari ko’rinishidagi ifodalarini olish qulay bo’ladi.
Masalan, 2-rang tenzor T va vektorning skalyar ko’paytmasi quyidagicha bajariladi:

(1.22)