I bob Arifmetika va algebraning boshlanishi. Natural va kasr sonlar

28. Kvadrat sonlar. Diofant formulasi.
Q uyidagi sonlar kvadrat sonlar deyiladi : 1; 9; 25; 36;… ya’ni 1;2;3;4;5;6;… natural sonlarning kvadratlari. Bu holda kvadrat sonlar ketma-ketligining n-soni bo’ladi.68-rasmda nuqtalar birlik boshqa har xil kvadratlarda, ya’ni yuzalarda joylashgan birlik kvadratlarni tasvirlayapti.





Yuqorida uchburchak sonlarni natural sonlarni qo’shish bilan hosil qilgan edik. Analogik tarzda toq sonlar qatoridan kvadrat sonlarni ham olish mumkin: 1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;… Haqiqatdan ham, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16.
Qadimgi yunonlarning mashhur matematigi – Diofant, mil.avv. III asrda yashagan, uchburchak sonlar va kvadrat sonlarni bog’lovchiformulani topgan. Agar ixtiyoriy uchburchak sonni T deb belgilasak, unda 8T+1 Qandaydir K kvadrat son bo’ladi. Masalan, 6 uchburchak sonini 8 ga ko’paytiribva birni qo’shib, kvadrat son bo’lgan 49 ni olamiz.
O’quvchiiga topshiriq.15-masala.“Diofant formulasini dastlabki 8 ta uchburchak va kvadrat sonlari uchun tekshiring (K-1=8T)”
29. Sehrli kvadratlar.
Miloddan avvalgi II ming yillikning qadimiy qo'lyozmalaridan birida 69-rasmda rasm ko’rsatilgan. Bu qadimgi sirli kvadrat deb ataladi.Qora nuqtalar bilan o’sha vaqtda “ayol” deb atalgan juft sonlar, aylanalar bilan esa “erkak” deb atalgan toq sonlar belgilangan.Zamonaviy yozuvda bu kvadrat qanday ko’rinadi(70-rasm)

Ko’rinib turganidek, birinchi 9 ta natural sonlar shunday joylashtirilganki, ularning qator bo’ylab, usutun va diagonal bo’ylab yig’indilari bir xil. Bu – sehrli kvadratlarning asosiy xossasi. Qadimgi sehrli kvadratda yig’indi 15 ga teng.Boshqa qadimgi hindlarning sehrli kvadratida (71-rasm) yig’indi 34 ga teng.Asosiy xosssadan tashqari bu kvadratda boshqa xossani ko’rish mumkin: Burchakdagi sonlar (1; 4; 16; 13) yig’indisi ham 34 ga teng; har bir ustunda yig’indisi 13 yoki 21 ga teng bo’lgan sonlar turibdi.

Uzoq o'tmishdagi orqada qolgan ba’zi odamlar bu noodatiy xususiyatlarni sirli deb hisoblashgan.Shundan “sehrli” kvadrat nomlari kelib chiqqan.
Arablarning vositachiligi tufayli sehrli kvadratlar Hindistondan Yevropaga kirib keldi.Ular raqamlar ilmiga ma'lum qiziqish ko'rsatganlari sababli, ular mashhur olimlar tomonidan ko'rib chiqilgan.Ularning orasida 17-asrning mashhur fransuz matematigi Piyer Ferma bor edi.