Farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti

1.2. Dekart koordinata sistemasi.

Koordinatalar g’oyasi qadimgi zamonlardayoq vujudaga kelgan. Bu g’oya birinchi marta Kichik Osiyoning Perrgam shaxrida eramizdan oldingi 262 yili tug’ilgan. Appoloniyning “Konus kesmalari” nomli asarida uchraydi. Albatta, koordinatalar tushunchasi kishilarga astrononmiyadan osmon jismlarining koordinatalarini aniqlashda, yerda esa ba’zi joylarning koordinatalarini aniqlashda kerak bo’lgan.
Geogmetriyaga koordinatalar metodini qadimgi grek astronomi Klavdiy Ptolomey (II asr) kiritgan.To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidan qadimgi Misrda kvadrat shaklidagi to’r sifatida foydalanilganligi haqida arxeologlarning bergan ma’lumotlari bor.
Matematikaga koordinatalar metodini birinchi bo’lib XVII asrda yashagan fransuz matematiklari P. Ferma va R. Dekartlar kiritishgan. Koordinatalar metodini birinchi bo’lib o’zining 1637 yilda nashr etilgan geometriya asarida R. Dekart bayon etgan. Shuning uchun ham to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini “Dekart koordinatalar sistemasi” deyiladi. Koordinatalar metodida ishlatiladigon ”absissasi” va “ordinatasi” terminlari yuqorida biz eslatib o’tgan Appolloniyning “Konus kesimlari” asarida uchragan mos terminlarning tarjimasidir.
“Absissa”- x o’qidan ajratiladigan kesmadir.
“Ordinata”- y o’qidan ajratiladigan kesmadir.
Bu terminlarning XVII asrda G. V. Leybnis kiritgan, absissa va ordinatani birgalikda koordinatalar deb atashni ham Leybnis taklif etgan.Dekart reperi affin reperining xususiy holi bo’lgani uchun affin reperda chiqarilgan tenglamalar dekart reperida xam o’z kuchini saqlaydi , lekin dekart reperida tekislikka doir metrik xarakterdagi masalalarni yechish mumkin.
Koordinatalar ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini xarakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi. Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik o‘rni deb qarab, shu obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda joylashishini o‘rganadi.
Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil topgan deb qarash mumkin.Shuning uchun geometrik shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning o‘rni deb qarash mumkin.Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi o‘rni sonlar yordamida aniqlanadi. Nuqtaning o‘rnini aniqlovchi sonlar uning koordinatalari deyiladi.
Endi koordinatalar sistemalari bilan tanishamiz:
Musbati yo‘nalishi tanlab olingan l to‘g‘ri chiziq o‘q deb ataladi. O‘qni yo‘nalishi odatda strelka bilan ko‘rsatiladi.
Ta’rif. Agar to‘g‘ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O nuqta musbat yo‘nalish va masshtab birligi tanlab olingan bo‘lsa,u holda to’g’ri chiziqda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi.
Bu O to‘g‘ri chiziqdagi M nuqtani to‘la aniqlash uchun, undan O nuqtagacha bo‘lgan masofa OM kesmaning uzunligi va yo‘nalishi berilgan bo‘lishi kerak. Kesmaning yo‘nalishi + yoki – ishoralar orqali, masalan O nuqtadan o‘ng tomonga ko‘yilsa musbat, chap tomonga qo‘yilsa manfiy deb qabul qilingan. SHu qabul qilingan shartda, to‘g‘ri chiziqning har bir nuqtasi yagona bir sonni ifodalaydi. Bu son qaralayotgan nuqtaning abssissasi (koordinatasi) deyiladi va x harfi bilan belgilanadi, xuddi shuningdek, harbir haqiqiy songa to‘g‘ri chiziqda yagona nuqta mos keladi. Ya’ni to‘g‘ri chiziq ustidagi nuqtalar va haqiqiy sonlar to‘plami orasida bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.
Analitik geometriyada nuqta berilgan deganda, uning koordinatasi berilgani tushuniladi.