1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

2.Eslatma. Funksiyaning limiti x→a da mavjud bo‘lishi uchun funksiya x=a nuqtada aniqlangan bo‘lishi talab qilinmaydi. Limitni topishda a nuqtaning a dan farqli atrofida funksiyaning qiymatlari qaraladi;
Misol: ekanini isbotlaymiz.
Bu yerda funksiya x=2 da aniqlanmagan. Ixtiyoriy da shunday topiladiki, agar bo‘lsa,
(1)
tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak. Ammo da (1) tengsizlik

yoki (2) tengsizlikga ekvivalentdir.
Shunday qilib, ixtiyoriy da (2) tengsizlik bajarilsa, (1) tengsizlik bajariladi (bunda = ). Buning o‘zi berilgan funksiya x→2 da 2 sonidan iborat limitga ega demakdir.
Misol: funksiya berilgan bo‘lsin, u holda va aksincha bo‘lgani uchun o‘zgaruvchi y ni 1 bilan cheksiz kichik funksiyaning yig‘indisi ya’ni ko‘rinishda yozish mumkin.
2-Teorema. Agar x→a da (yoki x→ da) α=α(x) nolga intilsayu, lekin nolga aylanmasa, u holda cheksizlikka intiladi.
3-Teorema. Ikki, uch va umuman ma'lum sondagi cheksiz kichik funksiyalarning algebraik yig‘indisi cheksiz kichik funksiyadir.
4-Teorema. Cheksiz kichik α=α(x) funksiyaning cheklangan z=z(x) funksiya bilan ko‘paytmasi x→a (yoki x→ ) da cheksiz kichik miqdordir.

4.2.9 Limitlar haqida asosiy teoremalar.
1-Teorema. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng.

Isboti: Isbotni ikki qo‘shiluvchi uchun keltiramiz, qo‘shiluvchilar soni har qancha bo‘lganda ham isbot o‘z kuchida qoladi.
Aytaylik, bo‘lsin. U holda 4.2.8 mavzudagi 1-teoremaga asosan lar cheksiz kichik miqdorlar. Demak, ; -o'zgarmas miqdor, esa cheksiz kichik miqdor.