Hosila va uning tatbiqlari

Hosila yordamida funksiyani tekshirish va grafigini yasash. Funksiya grafigini yasashni quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiramiz.
Funksiyaning:
1) aniqlanish sohasini;
2) statsionar nuqtalarini;
3) o‘sish va kamayish oraliqlarini;
4) lokal maksimum va lokal minimumlarini hamda funksiyaning shu
nuqtalardagi qiymatlarini topamiz;
5) topilgan ma’lumotlarga ko‘ra funksiyaning grafigini yasaymiz.
Grafikni yasashda funksiya grafigini koordinata o‘qlari bilan kesisish va
boshqa ayrim nuqtalarini topish maqsadga muvofiq.


GEOMETRIK, FIZIK, IQTISODIY MAZMUNLI
EKSTREMAL MASALALARNI YECHISHDA
DIFFERENSIAL HISOB USULLARI
Geometrik mazmunli masalalar
Masala.To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi yer maydoni atrofini 100 m panjara bilan o‘rashmoqchi. Bu panjara eng ko‘pi bilan necha kvadrat mert yer maydonini o‘rashga yetadi?
Yer maydonining eni x m va bo‘yi y m bo‘lsin (27-rasm). Masala shartiga ko‘ra yer maydonining perimetri 2x +2y =100. Bundan y = 50–x. Yer maydonining yuzi
S( x ) = xy =x(50–x)=50x–x ². Masala S(x) funksiyaning eng katta qiymatini topishga keltirildi. Avval S(x) funksiyaning statsionar nuqtasini topamiz: Sʹ(x)=50–2x=0,
bundan x = 25. (–∞; 25) oraliqda Sʹ(x) > 0 va (25; +∞) oraliqda Sʹ(x) < 0 bo‘lgani uchun S(x) funksiya x=25 da eng katta qiymatga ega bo‘ladi va S(25)=625. Demak, 100 m panjara yordamida eng ko‘pi bilan 625 m² yer maydonini o‘rash mumkin. Javob: 625 m^2.
Umuman, perimetri berilgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar ichida yuzasi eng kattasi kvadratdir.
Fizik mazmunli masalalar
Masala. Moddiy nuqta qonuniyat bilan harakatlanmoqda (s(t) metrda, t vaqt esa sekundda o‘lchanadi). Quyidagilarni toping:
1) Eng katta tezlanishga erishiladigan vaqtni (t₀);
2) t₀ vaqtdagi oniy tezlikni;
3) t₀ vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni toping.
Moddiy nuqtaning tezligini topamiz:

Fizikadan ma’lumki, tezlikdan olingan hosila tezlanishni beradi, ya’ni:


a(t) = vʹ ( t) = – t² + 6t.
1) Eng katta tezlanishga ega bo‘ladigan t₀ vaqtni aniqlash uchun a( t )=v ʹ ( t )= –t²+6t funksiyani maksimumga tekshiramiz. Avval
aʹ (t) = –2t + 6 = 0 tenglamani yechamiz, bundan t₀ = 3. (0; 3) oraliqda aʹ (t) > 0 va (3;+∞) oraliqda aʹ(t) < 0 bo‘lgani uchun t=3 da a(t) eng katta qiymatga erishadi.
2) t₀ vaqtdagi oniy tezlikni hisoblaymiz:

3) t0 vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘l

formulaga t0=3 ni qo‘yib hisoblanadi:

Javob: 1) 3 s; 2) 18 m/s; 3) 20,25 m