Yechilishi: 1 holatda tenglamani yechamiz

1(9). ning qanday qiymatlarida tenglamaning barcha 4 ildizi arifmetik progressiya tashkila etadi? Bu sonlarni toping.
Yechilishi:
1) holatda tenglamani yechamiz.

Viyet teoremasiga ko’ra

ildizlar arifmetik progressiya tashkil qiladi.
2) holatda tenglamani yechamiz.

Viyet teoremasiga ko’ra

lar arifmetik progressiya tashkil qiladi.
Ikkita holatni qaraymiz . Arifmetik progressiya xadlari
a) b)
a)xolatimizda




b)



Javob:

2(11). Barcha natural lar uchun

Tengsizlikmi isbotlang.
Isboti: Istalgan soni uchun


Koshi tengsizligiga ko’ra

Demak

Tengsizlik o’rinli.
3(11). ketma-ketlikda ,

Formula yordamida rekurent usulda berilgan. Ketma-ketlikning hadlari butun son ekanligini isbotlang.
Isboti: Ketm ketlikning barcha hadlari musbat bo’lgani uchun

Ya’ni ketma-ketlik monoton o’suvchi

almashtirish qilamiz.

Bu esa lar

Tenglamaning ildizlari ekanini bildiradi. Viyet teoremasiga ko’ra

Bundan . Bu esa ketma-ketlik hadlari butun ekanini bildiradi.
4(9). Berilgan natural sonar uchun tenglik o’rinli bo’lsa
murakkab son ekanligini isbotlang.
Isboti: bo’lsin

bo’lsin u holda

bo’ladi. Bulardan

Murakkab son ekani kelib chiqadi.
5(9). Tengsizlikni isbotlang.

Isboti:

Tenglik sharti bo’lganda bajariladi.
6(10). Parametr ning qanday qiymatlarida

Tenglamalar sistemasi

1. 
   1ta yechimga ega.
   
2. 
   Nta yechimga ega.
   

Yechiishi: Tenglamalar sistemasidagi 1) va 3) tenglamalarni qo’shamiz va 2) tenglamani 2ga ko’paytirib yig’indidan ayiramiz. U holda

Tenglamani hosil qilamiz.
(2) tenglamaning yechimlari soni ta.
Qiymatlarni qabul qilgani uchun ga teng bo’lishi mumkin.
a)faqat da (1) sistema bitta yechimga ega.
b) da nta yechimga ega.
7(11). Uchta butun son kvadratlari yig’indisi korinishida yozib bo’lmaydigan natural sonlar cheksiz ko’p ekanini isbotlang.
Isboti: ko’rinishidagi sonlar sanoqlita bo’lib, ularni uchta butun son kvadratlari ko’rinishida yozib bo’lmasligini isbotlaymiz.
Teskarisini faraz qilamiz. Shunday sonlar topilsinki


ko’rinishlardan biri bo’lishi mumkin.

Xuddi shuningdek

va

Bundan

Ammo . Demak farazimiz noto’g’ri ,ya’ni Ko’rinishidagi sonlarni uchta butun son kvadratlari yig’indisi ko’rinishida yozib bo’lmaydi.
8(11). Uchta butun sonlar geometrik progressiya xosil qiladi .Agar

Biror tub songa bo’linsa, u holda ga ham bo’linishini isbotlang.
Isboti.

Masala shartiga ko’ra
.
bo’lgani uchun yoki yoki
Ya’ni bo’ladi.