Hosila va uning tatbiqlari

HOSILANI HISOBLASH QOIDALARI
Agar f(x) va g(x) funksiyalarning har biri hosilaga ega bo‘lsa, u holda
quyidagi differensiallash qoidalari o‘rinlidir:
1.Yig‘indining hosilasi hosilalar yig‘indisiga teng.
(f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x).
2.Ayirmaning hosilasi hosilalar ayirmasiga teng:
(f(x) – g(x))' = f '(x) – g'(x).
3. O‘zgarmas ko‘paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
(cf(x))'=c∙f ' (x), c – o‘zgarmas son.
4. Ko‘paytmaning hosilasi:
( f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x).
5. Bo‘linmaning hosilasi:



MURAKKAB FUNKSIYANING HOSILASI
Murakkab funksiya. y = (x2 + 3x)4 funksiyani qaraylik. Agar biz g(x) = x2 + 3x, f(x) = x4 belgilashlarni kiritsak, y = (x2 + 3x)4 funksiya y = f(g(x)) ko‘rinishini oladi. Biz y = f(g(x)) funksiyani murakkab funksiya deymiz.
Murakkab funksiyaning hosilasi uchun ushbu formula o‘rinli:
(f (g(x)))=f (g(x))·g '(x)
FUNKSIYA GRAFIGIGA O‘TKAZILGAN URINMA VA NORMAL TENGLAMALARI
Urinma tenglamasi. y = f(x) funksiyaga grafigining (x₀; f(x₀)) nuqtasidan o‘tuvchi urinma tenglamasini topamiz (19-rasm). Urinma to‘g‘ri chiziq bo‘lgani uchun uning umumiy ko‘rinshi y=kx+ b bo‘ladi. Hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra k =tga= f ′(x₀), ya’ni urinma teglamasi y=f ′(x₀)x+b ko‘rinishini oladi. Bu urinma (x₀; f(x₀)) nuqtadan o‘tgani
uchun f(x₀)= f ′(x₀)x₀+b bo‘ladi, bundan b=f( x ₀) – f ′( x ₀) x ₀ . Topilgan
b ni urinma tenglamasiga qo‘yib, y=f ′(x₀)x+f(x₀)–f ′ (x₀)x₀ yoki
y – f(x₀) = f ′(x₀)(x – x₀) (1) tenglamani hosil qilamiz.
y – f(x₀) = f ′ (x₀)(x – x₀) tenglama (x₀; f ( x₀)) nuqtada y = f(x) funksiyaga o‘tkazilgan urinma tenglamasi bo‘ladi.

19-rasm

Normal tenglamasi. y=f (x) funksiya grafigiga x = x₀ abssissali nuqtada o‘tkazilgan urinmaga x = x₀ nuqtada perpendikular bo‘lgan

to‘g‘ri chiziqqa y = f(x) funksiya grafigining x₀ abssissali nuqtasida o‘tkazilgan normal deyiladi (19- rasm).


HOSILA YORDAMIDA FUNKSIYANI TEKSHIRISH VA
GRAFIKLARNI YASASH
Funksiyaning o‘sishi va kamayishi. O‘suvchi va kamayuvchi funksiyalar bilan tanishsiz. Endi funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini aniqlash uchun hosila tushunchasidan foydalanamiz.
1-teorema. y = f ( x) funksiya (a; b) oraliqda aniqlangan va hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar x∈(a; b) uchun f ′(x) > 0 bo‘lsa, y = f ( x) funksiya (a; b) oraliqda o‘suvchi funksiya bo‘ladi (20-rasm).
2-teorema. y = f ( x) funksiya (a; b) oraliqda aniqlangan va hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar x∈ (a; b) uchun f ′(x) < 0 bo‘lsa, y = f ( x) funksiya (a; b) oraliqda kamayuvchi funksiya bo‘ladi (21-rasm).