1. Urinma tekislik Ta‘rifi. Urinma tekislikning yagonaligi xaqidagi teorema. Urinma tekislik tenglamalari

Sirtning urinma tekisligi va normali
Reja:
1. Urinma tekislik Ta‘rifi.

2. Urinma tekislikning yagonaligi xaqidagi teorema.

3. Urinma tekislik tenglamalari.

4.Sirtning normali va uning tenglamasi.

Aytaylik F sirt va unda yotuvchi R nuqta olaylik. R nuqta orqali ( tekislikni o’tkazamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: =(Q,)=h, (Q, р)=d.

Ta‘rif. Agar Q nuqta R nuqtaga intilganda h/d 0 ga intilsa( tekislikni F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi deyiladi.

Teorema. Xar qanday F silliq sirt o’zining xar bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo’lib, u yagonadir. Agar r=r(u,v) tenglama F sirtning silliq parametrlangan bo’lsa, R nuqtadagi urinma tekislik ru va rv vektorlarga // dir.

Isbot. Faraz qilaylik ( tekislik F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi bo’lsin. U xolda ta‘rifga asosan Q(r da (h/d)(0 bo’ladi. Agar n orqali ( tekislikning normal birlik vektorini belgilasak

d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)|

_­h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|

bo’ladi. Bundan

(h/d)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v+v)-r(u,v)|

nisbat 0 ga intiladi.

Ta‘rifga asosan (u va (v larning xar biri aloxida 0 ga intilganda (h/d)(0 bo’ladi.

Xususan,

(|(r(u+u, v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v)-r(u,v)|)0

Lekin oxirgi ifodani surat va maxrajini u ga бo’либ, u0 da limitga o’tsak,

(|r_u(u,v)n|/|r_u(u,v)|)0

ni topamiz.

Demak, r_u(u,v)n=0. Bundan r_un kelib chiqadi. Bu esa r_u vektorni  tekislikka parallel ekanini ko’rsatadi. Xuddi shuningdek r_vn=0 dan r_v n ni yoki r_v// ekanini topamiz.

Agar r_u va r_v vektorlarni 0 dan farqli va [r_u, r_v]0 ekanini etiborga olsak, urinma tekislikning yagonaligi kelib chiqadi. Shuningdek urinma tekislikning mavjud ekandigini xam ko’rsatish oson.

Urinma tekislikning tenglamalari.