Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

2.5-§. Lobachevskiy fazosida to’g’ri chiziq va tekisliklarning o’zaro joylashuvi
Absolyut geometriyaning barcha aksiomalari bilan birgalikda Lobachevskiy aksiomasi o’rinli bo’lgan fazo Lobachevskiy fazosi deb ataladi, unda absolyut geometriyaning barcha aksiomalari o’z kuchini saqlaydi, shuning uchun biz absolyut geometriyaga taalluqli ba’zi faktlarni eslatib o’tamiz.

1. 
   Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka faqat bitta perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tadi.
   
2. 
   Ikki tekislik kesishsa, kesimda to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.
   
3. 
   Agar to’g’ri chiziq biror tekislikda kesishgan ikki to’g’ri chiziqning har biriga perpendikulyar bo’lsa, bu to’g’ri chiziq shu tekislikka perpendikulyar bo’ladi.
   
4. 
   To’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, bu to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi har bir tekislik ham shu tekislikka perpendikulyar bo’ladi.
   
5. 
   Berilgan nuqta orqali berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar qilib faqat bitta tekislik o’tadi.
   
6. 
   Agar to’g’ri chiziq berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lmasa, bu chiziq orqali berilgan tekislikka perpendikulyar qilib faqat bitta tekislik o’tadi va hokazo.
   

Lobachevskiy fazosida to’g’ri chiziqlarning, to’g’ri chiziq bilan tekislikning, shuningdek tekisliklarning o’zaro joylashuvi quyidagi ta’riflar orqali kiritiladi.
1-ta’rif. Fazodagi ikki to’g’ri chiziq bir tekislikda yotib, o’zaro parallel (uzoqlashuvchi) bo’lsa, ular parallel (uzoqlashuvchi) deb ataladi.
2-ta’rif. To’g’ri chiziq o’zining biror tekislikdagi proyeksiyasiga parallel (yoki uning bilan uzoqlashuvchi) bo’lsa bu to’g’ri chiziq shu tekislikka parallel (yoki uning bilan uzoqlashuvchi) deb ataladi.
Bu ta’riflardan ko’rinadiki, to’g’ri chiziq tekislikka parallel bo’lsa, ular parallellik yo’nalishi tomon bir-biriga yaqinlashadi, ular uzoqlashuvchi bo’lsa, to’g’ri chiziq bilan tekislik bitta umumiy perpendikulyarga ega bo’lib, shu perpendikulyarning ikki tomonida ular bir-biridan yetarlicha uzoqlasha boradi.

20-rasm.
Ikki tekislikning parallelligi yoki uzoqlashuvchiligini ta’riflash maqsadida parallellik konusi deb atalgan sirt tushunchasini kiritaylik. tekislik va uning tashqarisida nuqta berilgan bo’lsin (38-chizma). ning dagi ortogonal proeksiyasi nuqtadan tekislikka parallel qilib to’g’ri chiziqlarni o’tkazaylik. Bu to’g’ri chiziqlarning dagi proyeksiyalari, bo’lib, dir. Bularning nuqtadagi parallellik kesmasi bo’ladi. Lobachevskiy funksiyasining xossasiga asosan . Demak, nuqtadan tekislikka parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqlar bilan bir xil o’tkir burchak hosil qilib, uchi nuqtada bo’lgan konus hosil qiladi. Shu sirt tekislikka nisbatan nuqtadagi parallellik konusi deb ataladi, bu konusning yasovchilari tekislikka parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlardir.
Parallellik konusining ta’rifidan ko’rinadiki, nuqtadan o’tib, (konus ichida joylashgan to’g’ri chiziq tekislik bilan kesishadi yaqinlashadi), nuqtadan o’tib, konus tashqarisida joylashgan to’g’ri chiziq esa dan uzoqlashadi.
Parallellik konusi nuqtadan o’tgan barcha tekisliklarni quyidagi uch sinfga ajratadi: 1) konusni ikki yasovchi bo’ylab kesuvchi tekisliklar; 2) konusga urinadigan tekisliklar; 3) konus bilan faqat nuqtada kesishuvchi tekisliklar. Birinchi sinfga tegishli tekisliklar nuqtadan o’tgan va konus ichida joylashgan to’g’ri chiziqlarni o’z ichiga oladi, demak bu tekisliklar tekisliklik bilan albatta kesishadi, lekin ikkinchi va uchinchi sinfdagi tekisliklar nuqtadan o’tgan va bilan yaqinlashuvchi to’g’ri chiziqlarni o’z ichiga olmaganligi uchun bilan kesishmaydi. U holda quyidagi ta’riflar o’rinli bo’ladi.